notwendige und hinreichende bedingung

28.10.2011, 09:33	telemarker	Auf diesen Beitrag antworten »
notwendige und hinreichende bedingung Meine Frage: hallo, in vielen lehrbüchern herrscht eine uneinheitliche definition von notwendigen und hinreichenden bedingungen eines extremums. es gibt für den schulstoff die beiden gleichungen: 1. f'(x)=0 2. f''(x)/=0 bzw. f''''(x)/=0 wie sind die beiden bedingungen zu bezeichnen? Meine Ideen: was klar ist, dass 1. die notwendige bedingung ist (denn ohne die geht's nicht). wird nun 2. als hinreichende bedingung bezeichnet? oder ist 1. und 2. zusammen die hinreichende bedingung? im letzteren fall ist offen, wie die 2. bedingung fachlich bezeichnet wird.
28.10.2011, 09:57	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: notwendige und hinreichende bedingung Zunächst einmal ist für ein Extremum $\begin{eqnarray} f'''(x_1) \neq 0 \end{eqnarray}$ nicht erforderlich, es reicht die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray} f'(x_1)=0 \end{eqnarray}$ und die hinreichende Bedingung $\begin{eqnarray} f'(x_1)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f''(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Man kann sich das leicht an der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ deutlich machen. Es ist $\begin{eqnarray} f'(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f''(0)=2 \neq 0 \end{eqnarray}$ , also liegt hier ein Extremum vor an der Stelle $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ . Die dritte Ableitung verschwindet für x_1=0 (sie verschwindet für jedes x, da es die Konstante Abbildung ist mit f'''(x)=0).

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