Potenzfunktionen - Seite 2

06.01.2007, 15:43

Medi

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Db: x ungleich 0
Wb: y > 0

Zur 4. Funktion:

Db: x ungleich 0
Wb: y ungleich 0

Zitat:

Original von Bjoern1982
Monotonie:
Was bereitet dir denn hier genau Probleme? Das mathematische Aufschreiben oder das Erkennen wann der Graph steigt oder fällt ?

Ich weiß es nicht unglücklich

unglücklich

Ich sehe ja, wann etwas steigt oder fällt, aber dieses ganze größer, kleiner, gleich, null unendlich, blaaa ... kann ich irgendwie nicht!

Zitat:

Original von Bjoern1982
Zur letzten Funktion:

Zitat:

Monotonie:

$\begin{eqnarray*} -\infty < x < 0 \end{eqnarray*}$ ----> str. mo. fallend

$\begin{eqnarray*} 0 < x < \infty \end{eqnarray*}$ ----> str. mo. steigend

Beziehst du dich hierauf mit deiner Frage?

Ich betrachte ja einmal das Intervall zwischen minus unendlich und null bzw das Intervall zeischen 0 und unendlich. Anders könnte man auch sagen man betrachtet alle x-Werte die kleiner als null sind und alle die größer als null sind und ordnet jedem dieser Bereiche die entsprechende Monotonie zu.

Ahhhja ... wie jetz?

06.01.2007, 16:05

Bjoern1982

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Zitat:

Ich weiß es nicht unglücklich Ich sehe ja, wann etwas steigt oder fällt, aber dieses ganze größer, kleiner, gleich, null unendlich, blaaa ... kann ich irgendwie nicht!

Ok, dann schauen wir und doch mal den Graphen zu $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-3} \end{eqnarray*}$ an:

Bei jeder Monotoniezuweisung muss man sich zuerst darüber Gedanken machen welche Bereiche man auf der x-Achse betrachtet.

Da hier ja die Definitionsmenge Db aus allen reellen Zahlen bis auf die null besteht bietet es sich an erstmal alles links vom Ursprung und dann alles rechts vom Ursprung zu betrachten.

Links vom Ursprung, genauer links von x=0, ist ja der Bereich von minus unendlich bis 0 (natürlich ohne die null selbst, da wir sie ja aus der Definitonsmenge ausgeschlossen haben).

Das einfachste wäre es hier einfach diesen Bereich x<0 zu nennen, denn das beschreibt ja genau den Bereich links von x=0 und damit vermeidest du auch irgenddwelche Schreibweisen mit minus unendlich oder so...

Rechts von x=0 wäre der Bereich dann eben x>0.

Und nun schreibst du einfach was für jeden Bereich gilt.

für alle x < 0 gilt ----> der Graph ist str. mo ....

für alle x > 0 gilt ----> der Graph ist str. mo ....

Genauso kannst du auch bei der Funktion davor vorgehen.

Dieses $\begin{eqnarray*} -\infty < x < 0 \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie x<0 und $\begin{eqnarray*} 0 < x < \infty \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie x>0

Ist es jetzt klarer ?

Gruß Björn

06.01.2007, 17:11

Medi

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Also soll ich das so aufschreiben?

x < 0 --> str. monoton fallend

x > 0 --> str. monoton fallend

Weil die fallen doch beide, oder?

Und das andere, was ich geschrieben hatte, war das alles richtig?

06.01.2007, 19:22

Bjoern1982

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Ja, stimmt alles Freude

Freude

Und auch einen solchen Graphen nennt man Hyperbel....falls du es nicht schon in die Tabelle eingetragen hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2007, 10:11

Medi

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Puuuh, das erste Blatt ist also geschafft^^
Bis auf eine kleine Frage :P

Die 1. ist eine Parabel und die 4. eine Hyperbel.
Und 2. und 3.?

--------------------------------------

Zur 5. Funktion..

Die konnte ich nicht mit dem Plotter zeichnen, weil ich nicht weiß, wie man das dann schreibt. Daher kann ich das ganze andere Zeug nicht bestimmen unglücklich

unglücklich

Und bei der Bezeichnung habe ich nur einen Verdacht.
Wurzelpotenzfunktionen vielleicht? Oder so was..?

Liebe Grüße,
Medi

07.01.2007, 10:46

Bjoern1982

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Zu ersten Frage:

Sofern ein positiver Exponent bei einer Potenzfunktion vorliegt spricht man von einer Parabel, bei negativem Exponenten von einer Hyperbel.

Zur 5. Funktion:

Schreib lieber Wurzelfunktion oder Potenzfunktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{1}{m}} \end{eqnarray*}$

Der Latex-Code ist so ---->f(x)=x^{\frac{1}{m}} also immer die m-te Wurzel von x.

Edit:

Ich kriegs auch nicht geplottet....warum auch immer verwirrt

verwirrt

Aber ich probiers weiter ^^

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07.01.2007, 10:58

Medi

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Also sind die ersten beiden Parabel und die anderen beiden Hyperbel!?

Ich finde ja, wir hätten das im Unterricht ruhig mal durchsprechen können, bevor wir so eine Aufgabe bekommen ...

Wenns der Plotter nciht kann, versuch ich nachher mal es per Wertetabelle zu zeichnen.

07.01.2007, 11:25

Bjoern1982

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Zitat:

Also sind die ersten beiden Parabel und die anderen beiden Hyperbel!?

Richtig

Freude

Mit meinem Plotter funktioniert es....nur hier bei dem im matheboard irgendwie nicht....vielleicht häng ich gleich mal Screenshots von meinem an.

07.01.2007, 11:35

Medi

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Das wär lieb smile

smile

07.01.2007, 11:48

zt

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Der Thread ist ja ganz schön lang. Welche Funktion kriegst du nicht geplottet?

07.01.2007, 11:54

Bjoern1982

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Ich würde gerne ein paar funktionen dieser Form plotten $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{1}{m}} \end{eqnarray*}$

Irgendwie gab es bei mir aber immer Fehlermeldungen aus mir unerfindlichen Gründen....

Könntest du das evtl übernehmen ?

Gruß Björn

07.01.2007, 11:57

zt

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Edit: Und das gibt's bei Wikipedia:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/b/b6/GraphPotenzfunktionen.png

07.01.2007, 12:08

Bjoern1982

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Danke

smile

Sag mal für ungerade natürliche Zahlen für m....würde der Graph dann nicht auch für negative Werte von x definiert sein? Is vielleicht ne doofe Frage aber ich steh gerade aufm Schlauch ^^

Gruß Björn

07.01.2007, 12:09

Medi

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Danke schön, zt smile

smile

Oha, ... wie hübsch ...

Also...

Bezeichnung:
Wurzelfunktion

Db:
$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R ; x > \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

Wb:
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ; y > \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} ungleich 0 \end{eqnarray*}$

Verlauf:
I

NS:
(0;0)

Sy:
(0;0)

Monotonie:
x < 0 streng monoton steigend

Charakteristische Punkte:
(0;0) ?

Symmetrie:
/

Und, was davon is richtig?^^

----
edit: Zu dem Wikipedia-Bild kann ich nur sagen: OH MEIN GOTT!!

07.01.2007, 12:09

RS

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@ bjoern:

ja weil dann wäre es ja 3. oder 5. oder x. Wurzel aus einer negativen Zahl und das ginge. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2007, 12:12

zt

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Danke smile

smile

Sag mal für ungerade natürliche Zahlen für m....würde der Graph dann nicht auch für negative Werte von x definiert sein? Is vielleicht ne doofe Frage aber ich steh gerade aufm Schlauch ^^

Gruß Björn

Egal wie, der Natürliche Logarithmus ist für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht mehr definiert..

Edit: Natürlich nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ !!

07.01.2007, 12:17

Medi

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Ich versteh nur noch Bahnhof Jungens ..

07.01.2007, 12:19

zt

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Bitte diesen Post löschen. Nicht wichtig.

07.01.2007, 12:19

Bjoern1982

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@ RS

Jap, schon klar....nur habe ich immer nur Skizzen gesehen, die den Graphen nur im ersten Quadranten zeigten und das verwirrte mich etwas....

Und damit muss man wohl auch eine Fallunterscheidung bei diesem Funktionstyp machen, um ihn vollständig zu beschreiben.

@ zt

Bei Logarithmen ist mir das schon klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

07.01.2007, 13:43

zt

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$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{m} \cdot{ln(x)}}=e^{\frac{1}{m} \cdot \left({ln(-1)}+ln(-x)\right)}=e^{\frac{1}{m} \cdot \left(i\cdot{\pi}+ln(-x)\right)}=e^{\frac{i\cdot{\pi}}{m}} \cdot{e^{\frac{ln(-x)}{m}}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

Die E-Fkt. ist $\begin{eqnarray*} 2\pi{i} \end{eqnarray*}$ -periodisch, weshalb der Exponent von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi{i} \end{eqnarray*}$ sein muss, sodass $\begin{eqnarray*} e^a \end{eqnarray*}$ ohne Imaginärteil validiert.

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{i\cdot{\pi}}{m}} \end{eqnarray*}$ wird allerdings nur bei $\begin{eqnarray*} m=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ reell, denn $\begin{eqnarray*} e^{\frac{i\cdot{\pi}}{\pm{1}}}=e^{\pm{i\cdot{\pi}}}=-1 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Keine Garantie - aber wäre möglich. verwirrt

verwirrt

07.01.2007, 13:57

Bjoern1982

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@ Medi

Man muss hier dann wohl eine Fallunterscheidung machen wenn m eine natürliche zahl sein soll....denn es ergeben sich unterschiedliche Eigenschaften für Funktionen mit geradem bzw ungeradem m.

Aber ohne darüber jemals gesprochen zu haben....schon krass geschockt

geschockt

07.01.2007, 14:05

zt

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Die Eigenschaften sind doch alle gleich.. bei $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{m}} \end{eqnarray*}$ .. wo siehst du denn einen Unterschied zwischen geraden und ungeraden Zahlen?

07.01.2007, 14:06

Bjoern1982

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Definitonsmenge, Verlauf, Wertebereich, Symmetrie....

07.01.2007, 14:11

Medi

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Ich glaub, ich warte erstmal, bis ihr euch geeinigt habt Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2007, 14:27

zt

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Was soll ich sagen, für mich besitzen die Graphen alle gleiche Eigenschaften..

07.01.2007, 14:31

Bjoern1982

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Für mich ja eigentlich auch.....aber man darf ja bei der 3. Wurzel aus x also $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ doch auch negative Werte für x einsetzen, was eben die Definitonsmenge usw verändern würde....

Erleuchte mich bitte mal....ich hab gerade ein Brett vorm Kopf Hammer

Hammer

Gruß Björn

07.01.2007, 14:34

zt

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Nein, ausser bei $\begin{eqnarray*} m=-1 \end{eqnarray*}$ geht das nicht.

Lang, lang ist's her..

07.01.2007, 15:20

Bjoern1982

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@ Medi

Ok, wenn du dann bei Db und Wb immer meintest dass man alle x bzw y-Werte gemeint sind die größer oder gleich null sind, dann ist alles richtig smile

smile

Edit:

Ok, bis auf dass bei der Monotonie x größer gleich null hinmuss und ein charakteristischer Punkt noch (1/1) ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2007, 16:05

zt

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@Bjorn..

Wenn man den charakt. Punkt zeigen möchte.. wie löst, man dann hier nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf?

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{a+1}}=0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

07.01.2007, 17:17

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{a+1}}=0 \end{eqnarray*}$

Durch Ausklammern von $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$ und dann gucken wann das entstehende Produkt null wird.

Gruß Björn

07.01.2007, 17:23

zt

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Dachte ich auch, aber wenn man $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ nicht gerade im Hinterkopf hätte..
$\begin{eqnarray*} 0=1-x^{-\frac{1}{a(a+1)}} \end{eqnarray*}$ ich weiss es nicht.

07.01.2007, 17:42

Medi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Medi

Bezeichnung:
Wurzelfunktion

Verlauf:
I

NS:
(0;0)

Sy:
(0;0)

Charakteristische Punkte:
(0;0) ?

Symmetrie:
/

Also das alles ist richtig?!

Und wie meintest du das mit dem Db und Wb?

Zitat:

Original von Bjoern1982
Ok, wenn du dann bei Db und Wb immer meintest dass man alle x bzw y-Werte gemeint sind die größer oder gleich null sind

07.01.2007, 19:52

Bjoern1982

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Nullstelle NS und Schnittstelle mit der y-Achse Sy sind eigentlich nur Stellen auf den jeweiligen Achsen, also wäre NS: x=0 und Sy: y=0

Der Rest stimmt aber...ja...vergess nur nicht noch den anderen charakteristischen Punkt (1/1)

Wegen Db und Wb:

Du musst halt schauen welcher Werte auf der x-Achse (Db) und der y-AChse (Wb) angenommen werden können.

Anhand der Graphen kann man das doch recht gut sehen.

$\begin{eqnarray*} ID=\mathbb R ^{\geq 0} \end{eqnarray*}$ ----> da es für alle reellen Zahlen von 0 bis unendlich auf der x-Achse einen y-Wert gibt.

$\begin{eqnarray*} IW=\mathbb R ^{\geq 0} \end{eqnarray*}$ ----> da alle y-Werte erreicht werden die größer oder gleich null sind

@zt

$\begin{eqnarray*} x^\frac{1}{m}- x^\frac{1}{n}=0 <=>x^\frac{1}{m}(1-x^{\frac{n-m}{nm}})=0 <=>x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^\frac{n-m}{nm}=1 \end{eqnarray*}$

Naja und die $\begin{eqnarray*} \frac{n-m}{nm} \end{eqnarray*}$ -te Wurzel aus 1 ist eben 1.

Gruß Björn

08.01.2007, 16:53

Medi

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Danke schön, Björn!

Und soll ich dir was sagen?^^ Jetzt sind wir fertig, denn die letzte Spalte hab ich heut mit meiner Nachhilfe zusammen gemacht.

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld smile

smile

Morgen wirds kontrolliert, mal sehen ob alles richtig ist!

Liebe Grüße,
Medi

08.01.2007, 17:00

Bjoern1982

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Gern geschehen Wink

Wink

Kannst ja bescheid sagen ob alles richtig war Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann mal viel Spass morgen in Mathe =)

Bis dann

Gruß Björn

08.01.2007, 17:08

zt

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Wärst du so frei, und stellst mal bitte die Arbeitsblätter komplett ausgefüllt hier rein? (natürlich nur, wenn's nicht zuviel Arbeit ist)

08.01.2007, 17:20

Medi

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Das kann ich morgen gerne machen, wenn ich es mit Füller nachgeschrieben hab, weils richtig ist smile

smile

Momentan ists nur Bleistiftgekrakel ^^

Viel Spaß in Mathe?^^ Na den werd ich haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2007, 19:48

Medi

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So, hier meine Herren smile

smile

Ich hoffe ihr könnt alles lesen^^

http://i14.photobucket.com/albums/a319/Satsch/MathePotenzen.jpg

http://i14.photobucket.com/albums/a319/Satsch/MathePotenzen2.jpg

LG,
Medi

10.01.2007, 21:01

zt

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Sieht schön aus, danke!

Ps.: hast 'ne schöne Schrift.

Ps. 2: Wurzelfunktionen sind auch Potenzfunktionen.

11.01.2007, 16:34

Medi

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Hey zt, gern geschehen smile

smile

Ich und ne schöne Schrift? *lach* Danke schön Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich schreib das mit den Potenzfunktionen noch dazu, danke!

LG,
Medi

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