Lineare Unabhängigkeit

28.10.2011, 13:36	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit Hallo, ich habe mal versucht, mir ein paar Regeln aufzustellen. 3 Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig, wenn... 1.) die Lösung des homogenen LGS $\begin{eqnarray} L=\left\{(0;0;0)\right\} \end{eqnarray}$ ist. 2.) die Lösung des inhomogenen LGS z.B. $\begin{eqnarray} L=\left\{(1;0;1)\right\} \end{eqnarray}$ ist, da wir dann ja $\begin{eqnarray} 1\vec{a}+0\vec{b}=\vec{c} \end{eqnarray}$ erhalten würden, was uns eine lineare Abhängigkeit der Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ anzeigt, weswegen $\begin{eqnarray} \vec{a} ,\vec{b} ,\vec{c} \end{eqnarray}$ nicht linear abhängig sein können. 3.) wenn im inhomogenen LGS beim lösen ein Widerspruch auftaucht. Stimmt das so? LG Maximan
28.10.2011, 14:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Um Dir eine klare Antwort zu geben, müsstest Du noch sagen, von welchen GLS Du jeweils sprichst. Definitionsgemäss sind drei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray}$ linear unabhängig, wenn das GLS $\begin{eqnarray} \lambda\vec{a}+\mu\vec{b}+\nu\vec{c}=0 \end{eqnarray}$ nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray} \lambda=\mu=\nu=0 \end{eqnarray}$ besitzt. Im dreidimensionalen Raum bilden sie eine Basis und somit ist für jeden Vektor $\begin{eqnarray} \vec{d}\in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ das GLS $\begin{eqnarray} \lambda\vec{a}+\mu\vec{b}+\nu\vec{c}=\vec{d} \end{eqnarray}$ eindeutig lösbar. Deine Aussagen bei 2) und 3) sind falsch. Wenn zwei Vektoren bereits linear abhängig sind, ist auch jede Menge, die diese Vektoren enthält, linear abhängig. Ein Widerspruch im LGS bedeutet, dass es nicht lösbar ist. Die Koeffizientenvektoren sind also linear abhängig. (Wären sie es nicht, dann wäre das GLS eindeutig lösbar, s.o.)
28.10.2011, 16:50	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel zu 2.) $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix};\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix};\vec{c}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist jetzt schon klar zu sehen, dass $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ linear abhängig sind. Löst man das inhomogene LGS ist die Lösungsmenge $\begin{eqnarray} L=\left\{r(0/-2/1);r\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ . Das bedeutet für $\begin{eqnarray} r=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 0\vec{a}-2\vec{b}+1\vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray}$ Man kann $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ also weglassen. Und da $\begin{eqnarray} \vec{c}=r\vec{b} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} \vec{a}\neq r\vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{a}\neq r\vec{c} \end{eqnarray}$ sollten die 3 Vektoren doch linear unabhängig sein? Denn da wir ja $\begin{eqnarray} 0\vec{a} \end{eqnarray}$ erhalten, hat sich die ursprüngliche Frage doch auf die Frage reduziert, ob die zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ linear abhängig sind, was sie nicht sind. Ein Beispiel zu 3.) $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix};\vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix};\vec{c}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die 1. Zeile mal –4 und zur 2. Zeile addieren. Die 1. Zeile mal –5 und zur 3. Zeile addieren. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1.Zeile: $\begin{eqnarray} x_2=-1 \end{eqnarray}$ 2. Zeile: $\begin{eqnarray} x_2=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow Widerspruch \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Die Vektoren sind linear unabhängig
28.10.2011, 21:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich mich wiederholen oder willst Du nun wissen, wo der Fehler liegt? Erstens redest Du von einem inhomogenen GLS, löst dann aber ein homogenes (rechte Seite =0). Dieses hat - wie Du ja richtig rausgefunden hast - unendlich viele Lösungen. Die Definition von linearer Unabhängigkeit erlaubt aber nur die Lösung 0. Da es hier noch andere gibt, sind die drei Vektoren nicht linear unabhängig. Eventuell meinst Du paarweise lineare Unabhängikeit (also von jeweils zwei der drei Vektoren), welche aber auch nicht gegeben ist, da sich c ja durch b darstellen lässt. Zu 3) In deinem Beispiel sind die drei Vektoren tatsächlich linear unabhängig, aber das hast Du mit deiner Umformung nicht bewiesen. Du hast gezeigt, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} t\vec{a}+s\vec{b}=\vec{c} \end{eqnarray}$ nicht lösbar ist, also c sich nicht durch a und b darstellen lässt. Das Ergebnis hättest Du aber auch herausbekommen, wenn a=b gewählt wird und damit sind wir wieder bei dem Fall von oben: Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass sich keiner der Vektoren durch die anderen linear kombinieren lässt.
28.10.2011, 21:47	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, jetzt hab ich's verstanden. Zumindest wird es klarer. Danke! Zu 2.) Wenn die Lösung eines homogenen LGS z.B. $\begin{eqnarray} L=\left\{r(0/-2/1);r\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ lautet, heißt das für r=1 $\begin{eqnarray} 0\vec{a}-2\vec{b}+1\vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray}$ , was lediglich bedeutet, dass $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ keine Linearkombination der anderen Vektoren ist und sagt nichts über linear Abhängigkeit der 3 Vektoren aus. Zu 3.) Selbiges gilt auch für diese Aufgabe. Mit meinem Rechenweg habe ich lediglich bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ keine Linearkombination aus $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist. Um linerare Abhängigkeit/Unabhängigkeit festzustellen, muss ich das homogene LGS lösen. Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist es hier nur Zufall, dass die Vektoren linear Unabhängig sind und könnte durchaus auch anders sein.
28.10.2011, 22:11	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so
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