lineares AWP lösen

28.10.2011, 17:57

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

lineares AWP lösen

Meine Frage:
Hallo,
ich bins schon wieder und hab ein Problem, um genauer zu sein, ein AWP... es lautet $\begin{eqnarray*} u'(t) = -tu(t) + 3t \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} u(0) = 5 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe angefangen mit der Bennenung $\begin{eqnarray*} u'(t) = a(t)u(t)+b(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a(t)=-t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b(t)=3t \end{eqnarray*}$

So dann hab ich hier die Formel gegeben:

$\begin{eqnarray*} u(t)=u_0\exp(\int\limits_{t_0}^t a(s) ds)+\int\limits_{t_0}^t b(\tau) \exp(\int\limits_{\tau}^t a(s) ds) d\tau \end{eqnarray*}$

Ja mit einsetzen und ausrechnen kam ich auf

$\begin{eqnarray*} u(t)=5\exp(-\frac{1}{2}t^2)+ \frac{3}{2}t^2 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} u(0)=5 \end{eqnarray*}$ ist damit auch erfüllt, aber die DGL ist nicht erfüllt...

Kann mit bitte jemand weiterhelfen? Ich habs auch schon öfters nachgerechnet... Vielleicht stimmt die Formel nicht?
Vielen Dank im Vorraus!

28.10.2011, 18:34

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: lineares AWP lösen
du hast da wohl was verwechselt. die lösung sieht eher so aus:

$\begin{eqnarray*} u(t)=u_0\exp(\int\limits_{t_0}^t a(s) ds)+ \left( \int\limits_{t_0}^t b(\tau) \exp(- \int\limits_{t_0}^\tau a(s) ds) d\tau \right) \cdot \exp(\int\limits_{t_0}^t a(s) ds) \end{eqnarray*}$

28.10.2011, 18:52

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja diese Formel hatte ich auch schon weiter oben in unserem Skript gefunden... is wohl ein Fehler...
So jetzt komm ich aber auch auf nichts besseres, denn jetzt habe ich

$\begin{eqnarray*} u'(t) = -5t \exp(-\frac{1}{2}t^2) + \exp(\frac{1}{2}t^2)(3t+\frac{3}{2}t^2) \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} -tu(t)+3t \end{eqnarray*}$ habe ich

$\begin{eqnarray*} -5t \exp(-\frac{1}{2}t^2)-\frac{3}{2}t^3 \exp(\frac{1}{2}t^2)+3t \end{eqnarray*}$

und die beiden Terme sind ja nicht gleich... unglücklich

unglücklich

EDIT : Ja... nochmal mal exp? warum??? davon steht aber überhaupt nichts im Skript?
Ich rechnes dann nochmal damit nach
Wobei wenn ich ehrlich bin, glaub ich nicht dass das die Geschichte erleichtert, denn dann hab ich ja bei u'(t) noch mehr abhängigkeit von exp und kann erstrecht die 3t nicht frei bekommen die ich unten hab... ?

28.10.2011, 19:01

KA123

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dich wohl verrechnet haben, mit der eben genannten Formel komme ich auf

$\begin{eqnarray*} u(t)=5e^{-\frac{1}{2}t^2}+e^{-\frac{1}{2}t^2} \left( 3e^{\frac{1}{2}t^2} - 3 \right) \end{eqnarray*}$
Dies erfüllt die DGL und die Anfangsbedingung

28.10.2011, 19:06

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das mit der editierten Formel gerechnet?

28.10.2011, 19:09

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

jup

Anzeige

28.10.2011, 19:12

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

und woher kommt diese Formel? Ich kann ja nicht einfach mit einer Formel ankommen die wie im Skript ganz anders (warscheinlich falsch) stehen haben? Und ich glaub ich bin heut nicht in der Lage richtig zu rechnen weil ich komm immer noch nicht auf das Ergebnis :-)

28.10.2011, 19:21

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit der editierten Formel komme ich auf

$\begin{eqnarray*} u(t)=5\exp(-\frac{1}{2}t^2)+\frac{3}{2}t^2\exp(\frac{1}{2}t^2)\exp(-\frac{1}{2}t^2) \end{eqnarray*}$

28.10.2011, 19:26

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: lineares AWP lösen
rechne mal schritt für schritt alles aus. fang damit an,

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{t_0}^t b(\tau) \exp(- \int\limits_{t_0}^\tau a(s) ds) d\tau \end{eqnarray*}$

auszurechnen. sag mir dazu, was

$\begin{eqnarray*} \exp(- \int\limits_{t_0}^\tau a(s) ds) \end{eqnarray*}$ ist

28.10.2011, 19:35

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^t 3\tau \exp(\int\limits_0^{\tau} -s ds)d\tau = [\frac{3}{2}\tau^2 \exp([\frac{1}{2}s^2]_0^{\tau})]_0^{\tau} \end{eqnarray*}$

So... für $\begin{eqnarray*} \tau = t \end{eqnarray*}$ folgt, dass der ganze Ausdruch so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}t^2 \exp (\frac{1}{2}t^2) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \tau = 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass noch abgezogen wird:

$\begin{eqnarray*} 0 \exp(0) \end{eqnarray*}$

Also hab ich hier schon mal zusammen

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}t^2 \exp (\frac{1}{2}t^2) \end{eqnarray*}$

28.10.2011, 19:38

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du Schande!!!
Muss ich wohl exp mit integrieren?? Ich glaub fast schon... ja, dann ist ja klar, dass es nicht hinhaut, aber wie würd ich das dann machen?

28.10.2011, 19:40

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

jup, muss natürlich mit integriert werden, darum wollte ich dass du alles schritt für schritt machst. dann siehst du dass das inenre integral ein ausdruck mit $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist und berücksichtigt werden muss.

$\begin{eqnarray*} \int_0^t 3 \tau \cdot e^{\frac12 \tau^2} d\tau \end{eqnarray*}$

partielle integration oder scharfes hinschauen führt zur lösung.

28.10.2011, 19:43

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also die 3 würd ich erst mal rausziehen und dann hab ich ja die "innere Ableitung" mal exp(...) also wär dann das Integral

$\begin{eqnarray*} 3\exp(\frac{1}{2}\tau^2) \end{eqnarray*}$

Richtig? Allerdings muss ich sagen ich kapier noch nicht so ganz wie du auf den Ausdruck kommst... mit den inneinandergeschachtelten Integralen, dass man die so einfach also eines schreiben kann? oder liegt das nur an der 0 als untere Grenze??

29.10.2011, 00:26

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von am121991
Ja also die 3 würd ich erst mal rausziehen und dann hab ich ja die "innere Ableitung" mal exp(...) also wär dann das Integral

$\begin{eqnarray*} 3\exp(\frac{1}{2}\tau^2) \end{eqnarray*}$

Richtig?

nicht ganz. du hast damit nicht das integral berechnet, sondern die stammfunktion. was ist dann das integral?

Zitat:

Original von am121991
Allerdings muss ich sagen ich kapier noch nicht so ganz wie du auf den Ausdruck kommst... mit den inneinandergeschachtelten Integralen, dass man die so einfach also eines schreiben kann? oder liegt das nur an der 0 als untere Grenze??

das hat erstmal mit den integrationsgrenzen nichts zutun. ich hab einfach das innere integral ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} \exp\left(- \int\limits_{t_0}^\tau a(s)\ ds\right) = \exp\left( \left[ \frac{s^2}{2} \right]_0^\tau \right) = \exp \left( \frac{\tau^2}{2} \right) \end{eqnarray*}$

nun lediglich einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{t_0}^t b(\tau) \cdot \exp\left(- \int\limits_{t_0}^\tau a(s) \ ds\right) \ d\tau = \int_0^t 3 \tau \cdot \exp \left( \frac{\tau^2}{2} \right) \ d\tau \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 11:06

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

das integral is dann

$\begin{eqnarray*} 3\exp(\frac{1}{2}t^2) + 3 \end{eqnarray*}$

weil die untere Grenze Null ist.

30.10.2011, 11:22

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist richtig. hat KA123 übrigens auch, wenn du rechts vergleichst:

Zitat:

Original von KA123

$\begin{eqnarray*} u(t)=5e^{-\frac{1}{2}t^2}+e^{-\frac{1}{2}t^2} \left( 3e^{\frac{1}{2}t^2} - 3 \right) \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 11:47

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau aber ich weiß grad immer noch nicht wie ich das machen soll, denn wenn ich den hinteren Teil ausmultiplizer und so... dann steht da irgendwas mit 3 mal exp und ich brauch ja um die dgl zu erfüllen hinten nur 3t?

30.10.2011, 12:11

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry doch net... passt, aber immernoch die Frage: woher kommt die Formel?

30.10.2011, 12:33

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist halt die allgemein bekannte lösung dieser diff'gleichungen. die sollte auch bestandteil eurer vorlesung sein. als wir das thema hatten, hat unser prof auch die formel etwas falsch angeschrieben. das kann bei dieser komischen formel passieren und darum sollte man den dozenten darauf ansprechen.

oft wird diese formel einem einfach als satz in der vorlesung gegeben. beweis davon ist einfaches nachrechnen. die eindeutigkeit der lösung ist dann auch nicht weiter schwer.

30.10.2011, 12:37

am121991

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahja, okay, ja dann hat er die bei uns wohl auch falsch angeschrieben ;-) dann besser ich das ab besten gleich aus, in meinem schönen Satz im Skript, danke! smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »