Problem bei Integral von sqrt(1-cos(x))

28.10.2011, 18:04

Limo

Problem bei Integral von sqrt(1-cos(x))

Hey,

ich hoffe ihr könnt mir helfen. Wir müssen das unbestimmte Integral von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{1-\cos{x}} \end{eqnarray*}$

bilden. Soweit so klar.

Jetzt kommt das Problem. Wenn ich die Funktion einfach brachial mit der Substitution integriere scheine ich einen Fehler zu machen. Die Stammfunktion die ich dadurch bekomme, gilt nur auf einen bestimmten Intervall und ich weiß nicht, warum das so ist. Ich komme also mit zwei Methoden, die eigentlich gleich sein sollten auf ein unterschiedliches Ergebnis

Methode 1 (Substitution):
Substitution mit

$\begin{eqnarray*} u = 1-\cos{x} \, \text{und} \, du= -\sin{x}dx \end{eqnarray*}$ .

Nach ein bisschen herumgerechne kommt man dadurch auf die Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = -2\sqrt{1+cos(x)}+C \end{eqnarray*}$ .

Wenn man diese aber wieder ableitet wird daraus daraus

$\begin{eqnarray*} F'(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{1+{\cos{x}}}} \end{eqnarray*}$ ,

was $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos{x}} \end{eqnarray*}$ nur im Intervall 0 bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ entspricht (siehe trigonometrischer Phytagoras), wobei selbst $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kritisch ist.

Ein Beispiel wo das deutlich wird:
Wenn ich mit dieser Stammfunktion die Fläche von meiner Funktion von 0 nach $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ berechnen will, erhalte ich 0 (was natürlich nicht sein kann, da $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos{x}}>0 \end{eqnarray*}$ und die Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ hat).

Wenn man es anders integriert kommt man auch auf etwas anderes:

Methode 2 (Umformung 1):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos{x}} = \pm \frac{\sin{x}}{\sqrt{1+\cos{x}}} \end{eqnarray*}$

(erhält man aus dem trigonometrischen Phytagoras... wichtig ist das plus-minus). Dann könne wir einfach Integrieren und kommen auf die beiden Stammfunktionen:

$\begin{eqnarray*} F_1(x) =-2\sqrt{1+\cos{x}} + C \end{eqnarray*}$ , für 0 bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_1(x) =2\sqrt{1+\cos{x}} + C \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ .

(Dabei hab ich, da $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nicht in der Defmenge war die Stammfunktionen dagegen streben lassen und die Werte dann dafür eingesetzt/definiert, eigentlich wie im ersten Beispiel (da is sowas ähnliches beim integrieren passiert).

Mir ist klar, dass ich es auch durch eine andere Umformung machen könnte (Methode 3), wie weiter unten, aber ich will einfach nur wissen, warum jetzt bei der Methode 1 ein Teil sozusagen fehlt bzw. wie man das das nächste mal verhindern kann.

Grüße

Limo

Methode 3 (Umformung 2):
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos{x}} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\sin{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ umforme und integriere ist das alles natürlich klar. Es kommt ja nach $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ein Vorzeichenwechsel (deswegen 2 Stammfunktionen in verschiedenen Intervallen).

28.10.2011, 19:05

original

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RE: Problem bei Integral von sqrt(1-cos(x))
gelöscht ..(deine Frage war leider nicht beantwortet) .. sorry

28.10.2011, 21:00

René Gruber

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Zitat:

Original von Limo
aber ich will einfach nur wissen, warum jetzt bei der Methode 1 ein Teil sozusagen fehlt

Den entscheidenden Teil der Rechnung hast du hinter den Worten "Nach ein bisschen herumgerechne" versteckt: Wie sollen wir dir auf dieser Basis sagen, wo du den Fehler gemacht hast? Augenzwinkern

28.10.2011, 21:51

Limo

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Mit

$\begin{eqnarray*} u = 1-\cos{x} \,\text{und}\, du=\sin{x}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{1-cos{x}}dx = \int \frac{\sqrt{u}du}{\sin{x}}=\int \frac{\sqrt{u}du}{\sin{(\arccos{(1-u)})}}=\int \frac{\sqrt{u}du}{\sqrt{1-(1-u)^2}}=\int \frac{\sqrt{u}du}{\sqrt{2u-u^2}} \end{eqnarray*}$

Natürlich muss u<2 sein. Das kann nur für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ diesen Wert annehmen und nichts darüber.

$\begin{eqnarray*} \, =\int \frac{du}{\sqrt{2-u}} = -2\sqrt{2-u} + C = -2\sqrt{1+\cos{x}} + C \end{eqnarray*}$

Jetzt stehen wir wieder am Anfang des Problems. Ich weiß nicht bei welchem Rechenschritt ich gefailt habe (siehe erster Beitrag von mir).

28.10.2011, 22:01

René Gruber

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Es ist der Schritt $\begin{eqnarray*} \sin(x) \stackrel{?}{=} \sin(\arccos(1-u)) \end{eqnarray*}$ , der gilt natürlich wieder nur für nichtnegative $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ , also z.B. $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \pi \end{eqnarray*}$ :

Etwa für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u = 1-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(\arccos(1-u)) = \sin(\arccos(0)) = \sin\left( \frac{\pi}{2}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ .

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