Bijektion finden

28.10.2011, 19:31

jesolo1

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Bijektion finden

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} E = {(x,y): x^2 + y^2 = 1} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Ist diese Menge abzählbar?

Meine Ideen:
Meine 1. Frage: ist die Menge E endlich? Ich behaupte nein, da wir unendlich viele Punkte haben auf dem Einheitskreis (reelle Zahlen).

Findet man nun eine injektive Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so ist die Menge abzählbar.

Und genau da liegt mein Problem: wie bestimme ich nun eine solche injektive Funktion?

Könnt Ihr mir da Denktipps geben?

28.10.2011, 19:38

jesolo1

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Sorry, hab vergessen die geschweiften Klammern bei der Mengendefinition zu escapen.

Folgendes wäre die Korrekte Definition der Menge $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E := \{(x,y): x^2 + y^2 = 1\} \end{eqnarray*}$

28.10.2011, 20:01

KA123

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Ich weiß zwar nicht wie die Aufgabe genau gedacht ist und wieviel Vorwissen du hast, aber eine Bijektion z.B. von einem Viertelskreis auf das Intervall [0,1] sollte nicht schwer zu finden sein und [0,1]
ist ja gleichmächtig wie die reellen Zahlen (auch da weiß ich nicht ob dir das bekannt ist).

28.10.2011, 20:11

jesolo1

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Hey KA123

Vielen Dank für Deine Antwort.

Zu Deiner 1. Aussage: Wie kann ich denn die bijektive Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aufschreiben?

Wortwörtlich heisst das ja, dass ich jedem Tuppel $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , dass die Bedingung $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ein Punkt im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ zuweise, und da $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist, so kann ich auch sagen, dass $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist?

(Bijektive Funktion: $\begin{eqnarray*} f: E \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ )

28.10.2011, 20:29

KA123

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Ich habe an so etwas gedacht:
Sei $\begin{eqnarray*} E_1:=\left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x^2+y^2=1, x,y \geq 0 \right\} \end{eqnarray*}$
Jetzt versuche eine Bijektion $\begin{eqnarray*} [0,1] \to E_1 \end{eqnarray*}$
hinzuschreiben.

Die Argumentation hast du genau richtig nachvollzogen, durch die hintereinanderschaltung der zwei Bijektionen hast du ja dann wieder eine Bijektion $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to E_1 \end{eqnarray*}$ , was ja gerade die gleichmächtigkeit bedeutet. Und wenn eine Teilmenge von E schon überabzählbar ist, ist es ganz E natürlich erst recht.

28.10.2011, 20:50

Jesolo1

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Vielen Dank fuer Deine Antwort (schreibe vom iPhone da ich auswaerts bin, mich diese Frage aber nicht in Ruhe laesst :-)

Da habe ich genau ein Problem, beim Definieren dieser Funktion.

Wie komme ich auf diese Funktion? Ich verbeiss mir dabei die Zaehne, aber es kann doch nicht so kompliziert sein!? Aufgeben will ich nicht.

Nun, wenn ich eine Zahl aus dem Intervall nehme, so muss ich sie ja so umformen, sodass x^2 + y^2 = 1

D.h. f: x --> (a,b) sodass a^2 + b^2 = 1

Wenn ich z.B. x = 0.7478338 nehme, wie kann ich f definieren, sodass ich auf (a,b) komme, also x so entschluessle, sodass das Tupel dabei rauskommt.

Dieser Schritt fehlt mir, und ich will einfach nicht draufkommen.

Wie gesagt, ich verfolge diesen Thread rigoros. Freue mich auf eine Antwort Deinerseits.

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28.10.2011, 21:02

KA123

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also probiers doch mal so:
Du bewegst dich jetzt auf dem Kreis im R^2. Du befindest dich also an einem Punkt (x,y) mit x^2+y^2=1. Angenommen die x-Koordinate ist jetzt fest zwischen 0 und 1, wie muss dann die y-Koordinate in Abhängigkeit von x sein? Das lässt sich leicht aus der Bedingung x^2+y^2=1 herausfinden!

28.10.2011, 21:13

Jesolo1

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Muesste ja $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{1 - y^2} \end{eqnarray*}$ sein oder? Ich darf wohl die Wurzel ziehen da der Term unter der Wurzel nie < 0 sein wird.

28.10.2011, 21:19

Jesolo1

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Natuerlich darf man die Wurzel nicht ziehen, also x^2 = 1 - y^2

28.10.2011, 21:28

KA123

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Also sind die Punkte auf dem Viertelskreis durch $\begin{eqnarray*} (x,\sqrt{1-x^2}) \end{eqnarray*}$ festgelegt
Doch die Wurzel darf man ziehen, da man ja $\begin{eqnarray*} 0 \le x \le 1 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt hat. Man nimmt die Wurzel außerdem als Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ damit es auch wirklich eine Bijektion wird.

28.10.2011, 22:15

jesolo1

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(Bin wieder zuhause)

D.h. wir haben eine Funktion f gefunden, die für $\begin{eqnarray*} 1 \geq x \geq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} [0,1] \rightarrow E \end{eqnarray*}$ definiert ist. Das wäre $\begin{eqnarray*} f: x \rightarrow (x, \sqrt{1-x^2}) \end{eqnarray*}$ , oder?

Die Wurzel darf man ja eigentlich immer ziehen wenn wir uns im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ bewegen, da der Term unter der Wurzel nie kleiner 0 wird, und eine negative Zahl im quadrat immer positiv ist. D.h. diese Funktion ist eine bijektive Abbildung für den gesamten Einheitskreis.

D.h. wir haben eine bijektion von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nach E gefunden, jedoch wissen wir nun, dass E überabzählbar ist.

Warum haben wir eigentlich genau das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gewählt?

28.10.2011, 22:43

KA123

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Wichtig ist aber, dass nur
$\begin{eqnarray*} [0,1] \to E_1 (\subseteq E), x \mapsto (x,\sqrt{1-x^2}) \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist mit $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ , wie ich es oben definiert habe, denn nach ganz E wäre die funktion nicht surjektiv (kannst du dir leicht überlegen). Dabei geht es nicht ob man die Wurzel ziehen kann oder nicht, man muss eben auf die Bijektivität der Funktion achten, weil so ist ja gerade die Gleichmächtigkeit von 2 Mengen definiert.
Man kann sich natürlich auch eine Bijektion von [0,1] nach ganz E basteln oder von R nach ganz E (wäre halt aufwendiger), aber ich fande das am intuitivsten [0,1] zu wählen, weil erstens allgemein bekannt ist, dass [0,1] gleichmächtig wie R ist und weil man die Bijektion nach E_1 sofort hinschreiben kann.
Wenn du lust hast kannst du ja auch noch nachrechnen, dass die oben definierte Funktion wirklich bijektiv ist, das fördert vielleicht das Verständnis, warum ich die Sachen grade so gewählt habe.
Allerdings ist diese Lösung natürlich auch nur eine von vielen möglichen, wie immer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist halt das erste was mir so in den Sinn gekommen ist.

28.10.2011, 23:08

jesolo1

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Ja, aber jetzt macht es eigentlich Sinn, warum du $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ ausgewählt hast mit $\begin{eqnarray*} x \geq 0, y \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Da wir nun gezeigt haben, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \rightarrow E_1, f(x) = (x, \sqrt{1-x^2}) \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, so haben wir gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gleichmächtig sind. Nun wissen wir auch, dass $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, und somit ist $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ überabzählbar. Weiter wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} E_1 \subset E \end{eqnarray*}$ und allgemein gilt, wenn eine Submenge einer Menge überabzählbar ist, so ist die ganze Menge überabzählbar.

Macht Sinn jetzt. Ich habe einfach Mühe ersteres zu sehen. Gibt es eine Möglichkeit dies zu üben?

Bijektiv bedeutet, dass meine Funktion surjektiv und injektiv ist. Eigentlich müsste man eine Umkehrfunktion finden mit $\begin{eqnarray*} f^(-1): E_1 \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ . Wie würde das gehen? Eigentlich müsste ich ja [latex]y \rightarrow (x, \sqrt{1-x^2})[latex] nach x auflösen, nur, wie mache löse ich das mit dem Tupel?

Auf alle Fälle vielen Dank für Deine Zeit.

28.10.2011, 23:10

jesolo1

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Ich wollte natürlich schreiben, dass $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \rightarrow E_1, f(x) = (x, \sqrt{1-x^2}) \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Letzter LaTex Part, der nicht geparsed wurde:

$\begin{eqnarray*} y \rightarrow (x, \sqrt{1-x^2}) \end{eqnarray*}$

28.10.2011, 23:34

KA123

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Zitat:

Original von jesolo1

Macht Sinn jetzt. Ich habe einfach Mühe ersteres zu sehen. Gibt es eine Möglichkeit dies zu üben?

Was meintest du mit ersteres? Was möchtest du üben?

Die Umkehrabbildung wäre einfach $\begin{eqnarray*} E_1 \to [0,1], (x,y) \mapsto x \end{eqnarray*}$ . Die ist deswegen so einfach, weil ja die Punkte in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ gerade so gewählt sind, dass das hinhaut.

Ich helfe gerne, wenn ich kann, kann mich schließlich noch gut erinnern wie ich vor nicht allzu langer Zeit auch größte Schwierigkeiten mit solchen Aufgaben hatte. Naja, man muss sich eben erstmal richtig an die Hochschulmathematik gewöhnen^^

28.10.2011, 23:52

jesolo1

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Wirklich, vielen Dank für Deine Hilfe. Wenn ich könnt, würde ich Dir ein Bier spendieren!

Bezüglich der Urbildmenge $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Hast Du sie so gewählt, weil $\begin{eqnarray*} E \subseteq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ? Oder was war der Gedanke dahinter?

Mit Ersterem meinte ich eigentlich den Schritt $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ so auszuwählen, sodass man die injektive Funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,1] -> E_1 \end{eqnarray*}$ . Wenn man diese Funktion nämlich anschaut für $\begin{eqnarray*} x \geq 0, y \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann kann man schön sehen, dass sie sicher injektiv sind, da wir nie den Fall $\begin{eqnarray*} -1^2 = 1^2 \rightarrow -1 \neq 1 \end{eqnarray*}$ dank der optimalen Wahl von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ antreffen werden. Wenn man diesen Schritt hat, ist's eigentlich recht einfach.

Ich würde gerne mehr das Finden solcher Funktionen üben, also zu beweisen ob eine Menge abzählbar ist oder nicht mit der Bedingung, dass ich eine injektive oder bijektive Abbildung finden muss, da mir das momentan ein bisschen schwer fällt.

Ich hab halt sehr lange keine Mathe mehr gemacht. Für mich ist's momentan fast wie ein Neuanfang smile

smile

29.10.2011, 00:27

KA123

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Naja, hab mich bei der Wahl von [0,1] am Graphen des oberen Halbkreises orientiert, in [0,1] ist der Einheitskreis streng monoton fallend, streng monotone Funktionen sind injektiv. Die Surjetivität ist in dem Fall automatisch durch die Wahl von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ klar. Mit dem Viertelskreis hat muss man dann also nicht mehr viel nachdenken. Mit dem oberen Halbkreis wäre es eigentlich auch gegangen, aber ich wollts halt einfach halten^^
man könnte sich auch den Einheitskreis auseinanderbauen, d.h. die untere Hälfte einfach um 2 nach rechts verschieben, dann kann man auf recht einfache weise auch eine Bijektion $\begin{eqnarray*} [-1,3] \to E' \end{eqnarray*}$ konstruieren (E' soll der so verschobene Einheitskreis sein). Das ist aber nur eine Spielerei und eigentlich völlig unnötig.

Wenn du den Beweis davon, dass [0,1] gleichmächtig ist wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ noch nicht kennst, wär das auch was interessantes, oder zur Übung auch, dass [a,b] $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
Dann gibt es noch: Die Potenzmenge hat immer eine größere Mächtigkeit als die Menge selbst.
Das ist allerdings schon komplizierter und eher zum nachlesen interessant.

Ansonsten frag einfach nach, wenn dich noch was interessiert oder was unklar ist.

29.10.2011, 10:38

jesolo1

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KA123, vielen Dank für Deine Hilfe!

Cantors zweites Diagonalargument ist ja der dazugehörige Beweise. Hatte den mal für die Analysis Vorlesung durchgeskimmt.

Wünsche ein schönes Wochenende, und nochmals danke für Deine super Hilfe!

29.10.2011, 13:49

KA123

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Danke, gleichfalls smile

smile

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