Dreiecksverteilung

28.10.2011, 19:40

Felixxxxx

Dreiecksverteilung

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich stehe vor folgendem Problem: Ich habe zwei Dreieckverteilungen, die multipliziert werden.
Ich soll ein Lager auslegen. Zu dem Lager kommen am Tag minimal 30, im Mittel 40 und maximal 70 Lkws. Diese Lkws haben jeweils eine Ladung von minimal 7, im Mittel 14 und maximal 25 Paletten geladen....
Die Ladungen werden maximal 2 Tage eingelagert.

Meine Ideen:

Man könnte das Lager jetzt auf Maximalgröße auslegen und sagen es muss für maximal 70*25*2 Paletten Platz haben. Allerdings wäre das nicht wirtschaftlich.
Den Mittelwert der Verteilungen kann man sich ja auch einfach berechnen Mittelwer1=(30+40+70)/3 Mittelwert2=(7+14+25)/3 Mittelwert(gesamt)=Mittelwert1*Mittelwert2*2
Allerdings ist mir nicht klar, wie man die Standardabweichungen berechnet. Besonders, weil die beiden Verteilungen multipliziert werden müssten....
Ich würde gerne sagen können, zu 99% reicht es wenn das Lager die Größe von xxxPaletten bietet. Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen

28.10.2011, 19:51

René Gruber

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Zwei Fragen:

1. Was verstehst du unter einer "Dreieckverteilung"? Meinst du nicht eher eine (diskrete) Dreipunktverteilung? Unter einer Dreieckverteilung würde ich eine stetige (Gleich-)verteilung auf einem Dreieck in der Ebene verstehen...

2.Wieso bezeichnest du das, was du hier berechnest

Zitat:

Original von Felixxxxx
Den Mittelwert der Verteilungen kann man sich ja auch einfach berechnen Mittelwer1=(30+40+70)/3 Mittelwert2=(7+14+25)/3

als "Mittelwerte"? Nach deinen vorherigen Begriffen könnte man annehmen, dass "im Mittel 40" (bei der Lkw-Anzahl) sowie "im Mittel 14" (bei der Palettenanzahl pro Lkw) bereits die entsprechenden Mittelwerte dieser Zufallsgrößen sind! Falls nicht, dann hast du arg verwirrende Bezeichnungen gewählt! verwirrt

28.10.2011, 20:03

Felixxxxx

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ich meinte bei der Berechnung nachtürlich den Erwartungswert!
siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksverteilung

28.10.2011, 20:06

René Gruber

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Also ist das, was du "im Mittel" bezeichnest gar nicht das Mittel, sondern der Modalwert der Verteilung?

P.S.: Ich hatte übrigens erst auch an diese Dreieckverteilung gedacht, dass aber schnell als unmöglich beiseite gelegt: Schließlich sind sowohl Lkw- als auch Palettenanzahl von ihrer inhaltlichen Bedeutung her diskrete Zufallsgrößen, und da ist es schon ziemlich merkwürdig, die durch eine stetige Verteilung zu modellieren. Bei sehr großen Anzahlen, Ok, da könnte man das noch als Approximation abhaken - aber hier, bei diesen ein- und zweistelligen Anzahlen? verwirrt

28.10.2011, 20:53

Felixxxxx

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die aufgabe war mit den angaben formuliert. es sind zwei dreiecksfunktion laut prof. und im mittel steht für den höchsten punkt des dreiecks, kann sein, dass es eigentllich als modalwert bezeichnet wird.

ob das mit den kleinen werten sinn macht oder nicht keine ahnung, ist aber aufgabenstellung.

trotzdem schon mal danke für die hinweise

28.10.2011, 21:06

René Gruber

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Für i.i.d. reelle Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ sowie die davon unabhängige Anzahlszufallsgröße $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ kann man

$\begin{eqnarray*} Y = \sum_{k=1}^N X_k \end{eqnarray*}$

betrachten. Für diese Summengröße kann man nachweisen:

$\begin{eqnarray*} E(Y) = E(N)\cdot E(X_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y) = E(N)\cdot \operatorname{var}(X_1) + \operatorname{var}(N)\cdot (E(X_1))^2 \end{eqnarray*}$

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ dreieckverteilt mit den Parametern (7,14,25), sowie $\begin{eqnarray*} N=N_1+N_2 \end{eqnarray*}$ mit unabhängigen $\begin{eqnarray*} N_1,N_2 \end{eqnarray*}$ , die jeweils dreieckverteilt mit den Parametern (30,40,70) sind. Damit kannst du schon mal die Varianz der Palettenanzahl $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ für die zwei Tage berechnen, womit du dann z.B. über Tschebyscheff so eine von dir gewünschte 99%-Grenze abschätzen kannst.

29.10.2011, 14:16

Felixxxxx

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super, genau danach habe ich gesucht! Danke.
Die Berechnung der Standardabweichung bzw. Varianz.
Aber fehlt da nicht ein Exponent?

var(y)=(E(x))²*var(n)+var(x)*(E(n))²

29.10.2011, 14:19

René Gruber

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Zitat:

Original von Felixxxxx
Aber fehlt da nicht ein Exponent?

Nein, der fehlt NICHT ! Eine solche Symmetrie besteht hier nicht, rechne doch selbst nach!

Denke z.B. mal an den Fall eines festen, d.h. nichtzufälligen $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ :

Dann ist $\begin{eqnarray*} E(N)=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(N)=0 \end{eqnarray*}$ , und dann ist ja

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y) = n\cdot \operatorname{var}(X_1) \end{eqnarray*}$

anstelle des von dir vermuteten $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y) \stackrel{?}{=} n^2\cdot \operatorname{var}(X_1) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

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