Erwartungswert, Varianz, Kovarianz

28.10.2011, 21:21

ChronoTrigger

Erwartungswert, Varianz, Kovarianz

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Gegeben seien zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X und Y auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,F,P) \end{eqnarray*}$ . Hierbei seien X binomialverteilt mit Parametern $\begin{eqnarray*} n:=10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p:=0.2 \end{eqnarray*}$ sowie Y Poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda:=4 \end{eqnarray*}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray*} V:=X-2Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W:=3X+Y-10 \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} E(V) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(W) \end{eqnarray*}$
b) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} Var(V) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(W) \end{eqnarray*}$
c) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} Cov(V,X) \end{eqnarray*}$

Bisher habe ich mir folgendes überlegt:

Weil $\begin{eqnarray*} X \sim Bin(10,0.2) \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} E(X)=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(X)=1.6 \end{eqnarray*}$ und
weil $\begin{eqnarray*} Y \sim Poi(4) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} E(Y)=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(Y)=4 \end{eqnarray*}$

Zur a)
$\begin{eqnarray*} E(V)=E(X-2Y)=E(X)-2E(Y)=2-8=-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(W)=E(3X+Y-10)=3E(X)+E(Y)-10=6+4-10=0 \end{eqnarray*}$

zur b)
$\begin{eqnarray*} Var(V)=Var(X-2Y)=Var(X)+4Var(Y)-4Cov(X,Y)=1.6+16+0=17.6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Var(W)=Var(3X+Y-10) \end{eqnarray*}$ hier weiß ich jetzt momentan nicht so richtig weiter.

zur c)

$\begin{eqnarray*} Cov(V,X)=E(VX)-E(V)E(X)=E((X-2Y)X)-E(X-2Y)E(X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =E(X^2-2XY)-(E(X))^2+2E(X)E(Y)=E(X^2)-(E(X))^2=Var(X)=1.6 \end{eqnarray*}$

wobei ich hier immer die Linearität des Erwartungswertes und die stochastische Unabhängigkeit von X und Y benutzt habe.

Sind meine bisherigen Überlegungen korrekt? Und wie kann ich $\begin{eqnarray*} Var(W) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

danke schonmal im voraus.

28.10.2011, 21:46

René Gruber

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Und wie kann ich $\begin{eqnarray*} Var(W) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

Dass du dich so durch konstante Verschiebungen aus dem Tritt bringen lässt .. die ändern die Varianz nicht! Es ist also

$\begin{eqnarray*} Var(3X+Y-10) = Var(3X+Y) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ChronoTrigger
$\begin{eqnarray*} Cov(V,X)=E(VX)-E(V)E(X)=E((X-2Y)X)-E(X-2Y)E(X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =E(X^2-2XY)-(E(X))^2+2E(X)E(Y)=E(X^2)-(E(X))^2=Var(X)=1.6 \end{eqnarray*}$

Die Rechnung geht etwas einfacher, wenn du gleich die Bilinearität der Kovarianz nutzt, also

$\begin{eqnarray*} Cov(V,X) = Cov(X-2Y,X) = Cov(X,X)-2\cdot Cov(Y,X) = Var(X) - 0 \end{eqnarray*}$ .

28.10.2011, 22:00

ChronoTrigger

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danke.

damit erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} Var(W)=Var(3X+Y)=9Var(X)+Var(Y)=18.4 \end{eqnarray*}$

An die Bilinearität der Kovarianz hatte ich gar nicht gedacht, aber damit ist das ganze ja noch etwas kürzer smile

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