Verallgemeinerung einer Aufgabe |
| 28.10.2011, 21:24 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Verallgemeinerung einer Aufgabe Guten Abend ^^ Wir hatten letztens im Unterricht eine Aufgabe, die wir auch im Unterricht gelöst haben. Jetzt sollen wir diese Aufgabe verallgemeinern.. Ich gebe mal die Aufgabe mit an.. "Eine Firma soll bei möglichst sparsamen Materialverbrauch allseitig geschlossene quaderförmige Container herstellen, die ein vorgegebenes Volumen von 9m^3 haben und deren Breite halb so groß wie ihre Länge ist. geg: V= 9m^3 b= a/2 ges: minimale Containeroberfläche A So dann haben wir eine Ausgangsfunktion gestellt: A= 2*(ab+ac+bc)= f(a,b,c) Dann haben wir die Nebenbedingungen mit einbezogen b=a/2 V=a+b+c=9m^3 So danach haben wir eine Zielfunktion aufgestellt, wo die zu untersuchende Größe (in dem Fall A) nur noch von einer Variablen abhängig ist.. z.B A=f(a) A= 2(a* a/2 +ac +a/2 *c) A= a^2 +2ac +ac A= a^2 +3ac V= a*b*c V= a* a/2 *c V= a^2/2 *c /*2 2V= a^2 *c /:a^2 2V/a^2= c A= a^2 +3ac A= a^2 +3a* 2V/a^2 Hier konnte ich ja für V=9 einsetzen.. A= a^2 + 54/a = f(a) Das ist dann die Zielfunktion.. Danach bilde ich halt die erste Ableitung und die zweite.. Und finde dann a, dadurch dann auch b und c.. Also bis hier ist alles klar.. Jetzt soll ich die Aufgabe aber verallgemeinern, sodass V auch ein Parameter sein soll, die Aufgabe soll also nicht mehr vom Volumen abhängig sein.. Man soll halt für verschiedene Volumina die optimale Seitenlänge bestimmen können.. P.s = Die Bedingung b=a/2 bleibt ! Meine Ideen: So ich habe natürlich schon selber etwas probiert.. aber bin mir überhaupt nicht sicher.. b= a/2 V= a*b*c V= a* a/2 * c A= 2(a* a/2 + ac + a/2 *c) A= a^2 +2ac + ac A= a^2 + 3ac c= 2V/a^2 (das hatten wir ja schon bei der vorherigen Aufgabe) A= a^2 + 3a * 2V/a^2 Ich kann ja jetzt kein Volumen mehr einsetzen.. Wie muss ich denn dann da weiterrechnen? Wäre echt dankbar für eure Hilfe 
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| 28.10.2011, 21:53 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
War sie ja vorher auch nicht, denn das Volumen war ja fest vorgegeben. Man muss sich dann entscheiden, ob man die Oberfläche in Abhängigkeit von a mit konstantem V oder in Abhängigkeit von V mit konstantem a untersuchen bzw optimieren will (wenn wir nicht ins Mehrdimensionale mit partiellen Ableitungen abdriften wollen). |
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| 28.10.2011, 21:58 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich meinte damit, dass man eine Gleichung hat, wo man dann für unterschiedliche Volumina das alles berechnen kann, ohne immer diese ganzen Rechnungen jedes Mal durchzuführen.. Und was meinst du mit dem Teil danach? Also ich habe immernoch nicht verstanden, was ich machen muss ^^' sry |
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| 28.10.2011, 22:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin mir auch nicht sicher was du machen sollst,, poste doch vielleicht mal den Originallaut der Aufgabenstellung aus deinem Buch. Du hast ja vorhin selbst geschrieben:
Wenn für V also kein konkreter Zahlenwert mehr gegeben ist, dann muss man sich eben entscheiden, ob man....(siehe oben). Es klingt alles ein wenig danach, dass man das V einfach als konstant ansehen und einfach "mitschleppen" soll, wodurch am Ende beim Auflösen nach a eben noch ein V auf der anderen Seite rumschwirrt. Genaueres kann ich wie gesagt erst mit dem Originalwortlaut der Aufgabenstellung sagen. |
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| 28.10.2011, 22:08 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die aufgabe war nicht aus einem Buch, sondern von dem lehrer.. er meinte nur noch am Ende der Stunde, dass wir die Aufgabe verallgemeinern sollen, so dass V auch ein parameter ist.. und jetzt wo du es sagst, hat er auch gesagt, dass V eine konstante ist.. aber was hilft mir das? |
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| 28.10.2011, 22:18 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich muss jetzt ausmachen, aber falls euch noch was einfallen sollte.. ich schaue dann nochmal morgen früh nach
danke schon mal im voraus 
Gute Nacht ^^ |
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| 28.10.2011, 22:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja es gibt eben bei Extremwertaufgaben häufiger mal die Aufgabenstellung, dass man zunächst etwas konkret berechnen soll (hier also mit konkretem Volumen V=9) und dann nochmal mit allgemeinem Volumen V. Was anderes als dass man das V dann einfach stehen lässt (also durch keine konkrete Zahl ersetzen kann) steckt da nicht hinter. Sonderlich spannend ist das natürlich nicht, jetzt dasselbe nochmal mit allgemeinem V zu machen, aber naja, was will man machen.
Die Motivation dahinter könnte eben sein, dass man durch die Verallgemeinerung nachher die optimale Beziehung zwischen a und V nachher direkt vor Augen hat. |
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| 28.10.2011, 22:59 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, ich muss also anstatt einen Wert einzusetzen, V hinschreiben? Ich hatte das schon probiert, aber wusste dann nicht, ob es ausreicht... A= a^2 +3a* 2V/a^2 A= a^2 + 3a2V/a^2 A= a^2 + 3*2V/a A= a^2 + 6V/a Reicht das aber so? Ist das die allgemeine Funktion ? |
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| 28.10.2011, 23:07 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau. Und jetzt eben das Minimum für diese Funktion bestimmen bzw das a, für welches die kleinste Oberfläche entsteht. |
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| 28.10.2011, 23:09 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
muss ich die Ableitungen von A= a^2 +6V/a bilden? |
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| 28.10.2011, 23:12 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Yes. |
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| 28.10.2011, 23:37 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich habe jetzt als Ableitungen A'(a)= 2a - 6V/a^2 A''(a)= 12V/a^3 +2 Wenn ich jetzt A'(a) gleich Null setze 2a -6V/a^2 = 0 / + 6V/a^2 2a = 6V/a^2 / :2 a= 3V/a^2 so jetzt hab ich schon mal ein a das setze ich jetzt in die 2.Ableitung ein A''(a)= 12V/(3V/a^2)^3 +2 kann ich das irgendwie kürzen? das sieht gerade so durcheinander aus |
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| 28.10.2011, 23:40 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ziel ist es doch das a zu isolieren, es soll also allein auf genau einer Seite der Gleichung auftauchen. Mach mal an dieser Stelle hier weiter:
Überlege wie das a² aus dem Nenner wegkommen kann. |
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| 28.10.2011, 23:43 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a=3V/a^2 /*a^2 a^3= 3V / 3.Wurzel a= ? wie schreibe ich das dann dahin? einfach 3Wurzel(3V) ? |
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| 28.10.2011, 23:47 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, wir erhalten also Über 2 Sachen muss man sich noch Gedanken machen: 1) Warum darf man hier ungestraft mit a bzw a² multiplizieren ? 2) Wie kann man eigentlich direkt an der 2. Ableitung sehen, dass an der für a gefundenen Stelle ein Minimum vorliegen muss ? |
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| 28.10.2011, 23:51 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 1) hätte man jetzt sagen können, dass a auch 0 sein könnte.. dann wäre die Gleichung ja nicht definiert.. Meinst du das? Aber ich weiß jetzt nicht genau, warum man einfach a multiplizieren darf.. zu 2) der bruch muss immer positiv sein.. der Wert wird zwar immer kleiner, aber nicht kleiner als 0 Das Volumen kann ja nicht schließlich kleiner als 0 sein, weshalb dort also keine negativen Werte entstehen können... |
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| 28.10.2011, 23:53 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Prinzip alles gut, was du sagst. 
Es kommt hier eben auf den Definitionsbereich für a und V an und man kann aus praktischen Gründen eben voraussetzen, dass sowohl a>0 als auch V>0 gelten muss. |
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| 29.10.2011, 00:00 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich es in die 2. Ableitung setzen würde, dann würde da doch stehen: 12V / (3V/(3.Wurzel(3V))^2)^3 +2 ich krieg das mit der 3. Wurzel nicht hin, musste es jetzt so hinschreiben ^^' |
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| 29.10.2011, 00:02 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie gesagt, du brauchst es gar nicht einsetzen, da wegen a>0 und V>0 sowieso immer A''(a)>0 für alle a gilt. |
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| 29.10.2011, 00:05 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja ich meinte jetzt nur vom prinzip her
okay.. dann hab ich jetzt a dann sieht die Zielfunktion also so aus? A= 3.Wurzel(3V) ^2 + 6V/ 3.Wurzel(3V) |
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| 29.10.2011, 00:14 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre dann die minimale Oberflächeninhalt in Abhängigkeit von V, nicht die Zielfunktion.
Kann man bei Bedarf auch noch ein bisschen mit entsprechenden Wurzelgesetzen vereinfachen. Wie oben erwähnt soll man das Ganze wohl machen, um eine Art "Faustformel" für die Fragestellung "Wie muss ich a bei bekanntem Volumen V für einen optimalen (hier minimalen) Materialverbrauch wählen ?" zu erhalten. In Worten wäre das ja dann sowas wie "die 3. Wurzel aus dem Dreifachen von V liefert mir den optimalen Wert für a". |
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| 29.10.2011, 00:19 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, diese Frage würde die Aufgabenstellung gut treffen ^^ und wie kann man diese gleichung noch vereinfachen? und ist die Zielfunktion dann a= 3.Wurzel(3V) ? also das, was du dann in Worten hingeschrieben hast ? |
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| 29.10.2011, 00:24 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst mit den Begriffen ein bisschen vorsichtig sein. Das hat nichts mit der Zielfunktion zu tun. Das ist, wenn du so willst, die x-Koordinate des Tiefpunkt bzgl. der Zielfunktion, welche die Oberfläche in Abhängigkeit der Seitenlänge a beschreibt. Die entsprechende y-Koordinate des Tiefpunktes ergibt sich (wie immer) durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion (hier also in die Zielfunktion). Und das, was man als y-Koordinate erhält, ist dann ein Term, der in Abhängigkeit von V den minimalen Oberflächeninhalt darstellt. Und diesen Term könnte man eben noch etwas vereinfachen, aber ob das gewollt oder gewünscht ist, ist eine andere Frage.
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| 29.10.2011, 00:27 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In dem Fall ist die Zielfunktion also die Ausgangsfunktion also A= a^2 +6V/a oder wie? Ich glaube ich finde hier nicht mal mehr die Ausgangsfunktion, soviele Funktionen wir jetzt schon hhaben ^^' |
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| 29.10.2011, 00:30 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben nur eine Funktion, nämlich A(a)=a²+6V/a. Der Rest sind nur die Ableitungen, die man eben für die Extrempunktbestimmung benötigt. Ich werd dann für heute auch mal Feierabend machen. Falls noch Fragen sind, ich schau morgen sicher nochmal rein. Gute Nacht und viel Erfolg weiterhin. 
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| 29.10.2011, 00:32 | Lk-Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, ist alles geklärt jetzt
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld War mir echt eine große Hilfe 
Gute Nacht ^^ |
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