Funktionsscharen

28.10.2011, 23:26

Blue.3YE

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Funktionsscharen

Guten Abend,
ich bin leider etwas aus dem Stoff raus und versuche diese Aufgaben zu lösen:
(Problematisch wird es ab 1b.)

1.
Gegeben ist die Funktionsschar fa mit

$\begin{eqnarray*} fa(x)= \frac{4x}{x^2+a};a > 0 \end{eqnarray*}$

Ihr Graph sei Ga.

a)
Zeichne den Graphen von f1 und bestimme in Abhängigkeit von a den maximalen Definitionsbereich, die Null- und Extremstellen.
Begründe, wie der Graph für $\begin{eqnarray*} x \Rightarrow \pm \infty \end{eqnarray*}$ verläuft.

b)
Bestimme die Wendestellen von f2.

c)
$\begin{eqnarray*} Ta (-\sqrt{a} | -\frac{2}{\sqrt{a} }) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Ha (\sqrt{a} | \frac{2}{\sqrt{a} } ) \end{eqnarray*}$ sind die Extrempunkte des Graphen von fa.Geben Sie die Gleichung der Funktion g an,
auf deren Graph alle Extrempunkte der Schar liegen. Untersuche, ob jeder Punkt des Graphen von g auch ein Extrempunkt einer der Scharkurven ist.
(Dabei wird für g der maximale Definitonsbereich zugrunde gelegt.)

d)
Der Graph von f1 schließt mit der Geraden y=x eine im ersten Quadranten gelegene Fläche ein. Bestimme den Inhalt dieser Fläche.

e)
Die Strecke von Ta und Ha soll die Seite eine Quadrats bilden. Ermittle den Wert von a nachvollziehbar,
d.h. ohne Taschenrechner, für den der Flächeninhalt dieses Quadrats minimal wird. Prüfe dabei, ob es sich um ein globales Minimum handelt.

Zu 1a):

Der Graph müsste so aussehen:
[attach]21665[/attach]

Maximaler Definitonsbereich:
Für x sind alle reelen Zahlen möglich, da das Quadrat von x auch aus einer negativen Zahl eine postive Zahl macht und da a > 1 definiert ist kann der Nenner nicht gleich 0 werden.
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Nullstelle:
4x = 0
x = 0

Den Nenner muss ich dabei nicht beachten oder? ( Michternachtsformel? )

Extremstellen:
Minima: (-1|-2)
Maxima: (1|2)

x +- unendlich:
Der Graph wird sich, sowohl im positiven als auch im negativen Bereich asymptotisch an die x-Achse annähern.

Zu b):

Wendestelle:

$\begin{eqnarray*} fa''(x)= \frac{8x^3-24ax}{(x^2+a)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8x^3-24ax}{(x^2+a)^3}= 0 |\cdot (x^2+a)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8x^3-24ax = 0 \end{eqnarray*}$

Hier wollte ich eigentlich nach x auflösen, das klappt aber nicht.
Was habe ich falsch gemacht?

Vielen Dank für jede Hilfe smile

smile

29.10.2011, 00:16

opi

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Du kannst 8x ausklammern und die einzelnen Faktoren des Produkts gleich Null setzen.
Da in der Aufgabe nach $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ gefragt wird, mußt Du a dann auch noch durch 2 ersetzen.

Zitat:

Den Nenner muss ich dabei nicht beachten oder?

Auch hier reicht das Nullsetzen des Zählers.

29.10.2011, 13:37

Blue.3YE

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Vielen Dank für deine Antwort opi.

Versuch 1:

$\begin{eqnarray*} 8x^3-24\cdot2x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8x^3-48x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8x(-6+x^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich leider nicht weiter.

Versuch 2:

$\begin{eqnarray*} 8x^3-24\cdot2x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8x^3-48x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8x^3 = 48x |:8x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Wenn Versuch 2 richtig ist muss ich x nun in die Ausgangsfunktion einsetzen und für a 2, weil ich die x-Koordiante der Wendestelle für a = 2 ausgerechnet habe.

$\begin{eqnarray*} f2(\sqrt{6})= \frac{4 \cdot \sqrt{6} }{\sqrt{6}^2+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f2(\sqrt{6}) = 1.22 \end{eqnarray*}$

Eigentlich müssten es aber doch zwei Wendestellen sein (laut Grafik), wie bekomme ich die 2. raus?

Danke nochmal.

29.10.2011, 14:22

opi

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Laut Grafik müssen es sogar drei Wendestellen sein.
Versuch 1 geht in die richtige Richtung:
$\begin{eqnarray*} \underbrace{(8x)}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(x^2-6)}_{\text{2. Faktor}}=0 \end{eqnarray*}$
Ein Produkt ergibt Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Faktor 1 liefert eine, Faktor 2 sogar zwei weitere Lösungen.

Bei Deinem Versuch 2 teilst Du durch eine Lösung, die damit verschwunden ist. Nicht empfehlenswert.

29.10.2011, 14:47

Blue.3YE

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Okey.

1.Wendpunkt:

$\begin{eqnarray*} 8x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

2. + 3. Wendepunkt:

PQ-Formel:
$\begin{eqnarray*} 0 \pm \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

2.Wendepunkt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$
3.Wendepunkt: $\begin{eqnarray*} -\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

1.Wendestelle:

$\begin{eqnarray*} f2(0)= \frac{0 }{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W1 (0|0) \end{eqnarray*}$

2.Wendestelle:

$\begin{eqnarray*} f2(\sqrt{6})= \frac{4 \cdot \sqrt{6} }{\sqrt{6}^2+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f2(\sqrt{6}) = 1.22 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W2 (\sqrt{6}|1.22) \end{eqnarray*}$

3.Wendestelle:

$\begin{eqnarray*} f2(-\sqrt{6})= \frac{4 \cdot -\sqrt{6} }{-\sqrt{6}^2+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f2() = -1.22 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W3( -\sqrt{6} | -1.22) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ist jetzt richtig?

Zu c)

Tut mir Leid hier habe ich gar keinen Ansatz, kannst du/ihr mir einen Tipp geben?

29.10.2011, 15:01

opi

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Weitgehend richtig.

Zitat:

1.Wendpunkt:

$\begin{eqnarray*} 8x = 0 \end{eqnarray*}$

Du mußt zwischen Punkten und Stellen unterscheiden. Oben ist zunächst nur die Wendestelle angegeben, zusammen mit der y-Koordinate wird sie dann zum Punkt.
Die Anwendung der pq-Formel ist nicht falsch, einfaches Wurzelziehen hätte aber auch genügt.

Zu c): Beschäftige Dich zunächst nur mit der Ortskurve der Hochpunkte. Beachte, daß in dieser Ortskurve der Scharparameter a nicht vorhanden ist.

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29.10.2011, 15:28

Blue.3YE

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Dankeschön, werde ich mir merken smile

smile

Zu c):

Okey, ich würde es so machen:

Durch die vorgegebenen Extrempunkte ist bekannt:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Nun würde ich nach a auflösen und es in y einsetzen.

$\begin{eqnarray*} a = x^2 \end{eqnarray*}$

Nun hier eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2}{\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2}{\sqrt{x^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2}{x } \end{eqnarray*}$

Für den anderen Extrempunkt würde das gleiche gelten, nur mit einem minus davor, deshalb:

$\begin{eqnarray*} y = \pm \frac{2}{x } \end{eqnarray*}$

Zitat:

Untersuche, ob jeder Punkt des Graphen von g auch ein Extrempunkt einer der Scharkurven ist. (Dabei wird für g der maximale Definitonsbereich zugrunde gelegt.)

Welche Scharkurven sind hier gemeint?

29.10.2011, 16:05

opi

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$\begin{eqnarray*} y= \frac 2 x \end{eqnarray*}$ ist richtig, die negativen Werte der Tiefpunkte ergeben sich von allein.

Die Scharkurven sind alle $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$

Du kannst z.B alle Punkte $\begin{eqnarray*} \left( x_0 |\frac{2}{x_0} \right) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ einsetzen und $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ bestimmen, $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ danach in die erste Ableitung einsetzen.

29.10.2011, 16:39

Blue.3YE

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Ok, demnach:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x_0} = \frac{4x_0}{x_0^2+a_0}| \cdot (x_0^2+a_0) | \cdot x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (x_0^2+a_0) = 4x_0^2 | :x_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 + 2a_0 = 2 |:2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 + a_0 = 1 | - 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fa'(x) = \frac{(4 \cdot x^2 +a) - (4x \cdot 2x)}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

Bevor ich x_0 und a_0 einsetze, wollte ich fragen, ob die erste Ableitung richtig ist.

29.10.2011, 16:54

opi

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In der zweiten Zeile kürzt Du aus einer Summe heraus, Pfui! smile

smile

Wir erwarten, daß a von dem eingesetzten x0 abhängig ist.

Bei der Ableitung hast Du in einem Zwischenschritt eine Klammer vergessen, im ersten Summanden des Zählers gehört die 4 vor die Klammer. Danach noch zusammenfassen.

29.10.2011, 17:35

Blue.3YE

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Ups

Hammer

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (x_0^2+a_0) = 4x_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_0^2+ 2a_0 = 4x_0^2 | - 2x_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a_0 = 2x_0^2 | :2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0 = x_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fa'(x) = \frac{(4 (x^2 +a)) - (8x^2)}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fa'(x) = \frac{4x^2 + 4a - 8x^2}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fa'(x) = \frac{-4x^2 + 4a}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

x_0 und a_0 eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} fa'(x) = \frac{-4x_0^2 + 4x_0^2}{(x_0^2+x_0^2)^2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fa'(x) = \frac{0}{2x_0^4} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber warum haben ich x0 und a0 gerade in die 1.Ableitung eingesetzt?

Zu d):

[attach]21676[/attach]

x-Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven:

$\begin{eqnarray*} \frac{4x}{x^2+1} = x | \cdot x^2 +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x = x^3 + x|-4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 -3x \end{eqnarray*}$

So.. mal sehen, ob ich was von dir gelernt habe

Zitat:

Faktor 1 liefert eine, Faktor 2 sogar zwei weitere Lösungen.

$\begin{eqnarray*} x ( x^2 - 3 ) = 0 \end{eqnarray*}$

1.x-Koordiante:

$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

2. + 3. x-Koodinate:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Da es um die Fläche des 1. Quadranten geht nehme ich den 1.SP und den 2.SP (1.73).

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{4x}{x^2+1} dx \end{eqnarray*}$

Ui, wie sieht die Stammfunktion von so einem Bruch denn aus?
Kann ich hier getrennt aufleiten, also einfach Nenner und dann Zähler?

Vielen Dank bis hier hin!! smile

smile

29.10.2011, 18:36

opi

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Zitat:

Kann ich hier getrennt aufleiten, also einfach Nenner und dann Zähler

Nein, niemals. Da Du hier Zähler und Nenner ja auch nicht getrennt ableiten darfst, darfst Du erst recht keine Stammfunktion so bilden.
Wir brauchen eine geeignete Substitution, bei unserer Aufgabe $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

bietet sich die logarithmische
Integration an.

29.10.2011, 19:15

Blue.3YE

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Also:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot log (x^2+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{4x}{x^2+1} dx = \left[2 \cdot log (x^2+1)\right] = 2 \cdot log (\sqrt{3}^2+1) = 1.2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\sqrt{3}} = x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right] = 0.5 \cdot \sqrt{3}^2= 2.5 \end{eqnarray*}$

2.5 - 1.2 = 1.3

Die umschloßene Fläche im ersten Quadranten beträgt 1.3 .

Zu e):

Allgemein sollte der Abstand so formuliert werden:

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{( \sqrt{a} + \sqrt{a} )^2 + (\frac{2}{\sqrt{a}} + \frac{2}{\sqrt{a}})^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 2 \sqrt{a} + 2 \frac{2}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 2 \sqrt{a} + \frac{4}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

Was kann ich mit dieser Gleichung machen, damit ich das kleinste d finde?

29.10.2011, 21:19

opi

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Die Stammfunktionen sind richtig, allerdings sind beide ausgerechneten Werte falsch. Ob es an $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3})^2 =? \end{eqnarray*}$ lag?
Du mußt auch überlegen, wie die Flächen voneinander abgezogen werden müssen.

Zum Abstand: Hast Du dort tatsächlich aus einer Summe einzeln die Wurzel gezogen?

Zitat:

Zitat von opi
In der zweiten Zeile kürzt Du aus einer Summe heraus, Pfui!

Jetzt gibt es dafür ein Doppelpfui! Big Laugh

Big Laugh

Die große Wurzel brauchst Du nicht zu ziehen, da ja sowieso die Fläche eines Quadrates minimiert werden soll. Da waren die Aufgabensteller sehr freundlich.

29.10.2011, 21:58

Blue.3YE

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Neuer Anlauf:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot log (3+1) = 2.77 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5 \cdot 3 = 1.5 \end{eqnarray*}$

Jetzt richtig? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Du mußt auch überlegen, wie die Flächen voneinander abgezogen werden müssen.

Ich denke die Kleinere von der Größeren?

Also:
2.77 - 1.5 = 1.27

Zitat:

Jetzt gibt es dafür ein Doppelpfui! Big Laugh

Okey, ein 4. Pfui wird es nicht mehr geben Freude

Freude

(hoffe ich)

$\begin{eqnarray*} d = ( \sqrt{a} + \sqrt{a} )^2 + (\frac{2}{\sqrt{a}} + \frac{2}{\sqrt{a}})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = (2 \sqrt{a})^2 + (\frac{4}{\sqrt{a}})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 4a + \frac{16}{a} \end{eqnarray*}$

So? verwirrt

verwirrt

29.10.2011, 22:25

opi

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Zitat:

Ich denke die Kleinere von der Größeren?

Wenn man richtig gerechnet hat, schon. Besser ist aber, sich vorher zu überlegen, welche Fläche zu viel ist.
[attach]21684[/attach]
Dann kann einem auffallen, daß man sich (wie in Deinem ersten Anlauf) verrechnet hat.

Nun aber stimmt es. Freude

Freude

zu e).

Durch den Verzicht aufs Wurzelziehen berechnest Du keinen Abstand mehr, sondern eine Fläche in Abhängigkeit von a.
$\begin{eqnarray*} A(a) = 4a + \frac{16}{a}<br /> \end{eqnarray*}$

Von dieser Funktion mußt Du nun das Minimum bestimmen.

29.10.2011, 22:45

Blue.3YE

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Super, vielen Dank smile

smile

Zu e):

Ich finde ein Minimum bei (2|16).

Da es das einzige Minimum ist, würde ich sagen,
dass es sich somit auch um ein globales Minimum handelt.

Das heißt für a = 2 ist der Flächeninhalt des Quadradts am kleinsten.

Richtig? Gott

Gott

29.10.2011, 22:58

opi

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Richtig!

Prost

Bei der Prüfung auf ein globales Minimum muß man aber die Randwerte betrachten, die bei der Berechnung eines lokalen Minimums (wie wir es jetzt gemacht haben) sonst nicht erfasst würden. Es gibt aber keine Randwerte, da $\begin{eqnarray*} a \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ geht.

29.10.2011, 23:03

Blue.3YE

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Okey, verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Yuhuuuuuuuuuuuuuu!
Ein virtuelles Bier geht an dich, opi! Prost

Prost

Ich hätte nicht gedachte, dass ich es schaffe.
Aber dank deiner Hilfe und Mühe hab ich es mit dir geschafft smile

smile

Vielen Dank nochmal für deine Zeit!

Ich wünschen dir noch einen schönen Abend Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2011, 23:12

opi

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Danke fürs Dank!

Zitat:

Ich wünschen dir noch einen schönen Abend

Ich werde ihn mit einem virtuellen Bier ausklingen lassen. Engel

Engel

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