x/y+y/x größer oder gleich 2

29.10.2011, 01:07	Chemiker	Auf diesen Beitrag antworten »
x/y+y/x größer oder gleich 2 Meine Frage: Für welche x,y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \frac{x}{y} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Alleine durch logischen Überlegen komme ich darauf, dass x und y alle reellen Zahlen im positiven Bereich einnehmen können, nur wie kann ich das rechnerisch beweisen. Ich bin bisher soweit, dass ich die Formel soweit umgeformt habe: x^2+y^2 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 2xy Vielleicht habt ihr ja noch ein paar nette Gedanken. Vielen Dank schon einmal
29.10.2011, 01:26	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: x/y+y/x größer oder gleich 2 Sei vorsichtig mit deinen Umformungen bei Ungleichungen. Die Lösungsmenge von $\begin{eqnarray} \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2 \end{eqnarray}$ ist eine ganz andere als bei $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \geq 2xy \end{eqnarray}$ Probier zum Beispiel mal x=1, y=-1 aus. Das Stichwort ist hier: Fallunterscheidung! Ein zweites Stichwort: Binomische Formeln.
29.10.2011, 01:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
1. x und y dürfen nicht Null sein (warum?) 2. Bei der Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl kehrt sich das Relationszeichen um. Daher stimmt deine Umformung nur für den Fall xy > 0. Somit sind Fallunterscheidungen nötig. mY+ Bemerkung: Bringe die Ungleichung auf Null und wende dann eine binomische Formel an.
29.10.2011, 05:35	Testu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: x/y+y/x größer oder gleich 2 $\begin{eqnarray} x^2 -2xy+y^2 \ge 0 \end{eqnarray}$ gilt für alle x,y. Was sind Quadratzahlen immer?^^
29.10.2011, 10:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Testu Das erspart dennoch nicht die Fallunterscheidung. Denn schon die Multiplikation mit xy kann zur Folge haben, dass die von dir geschriebene Ungleichung nicht mehr stimmt ... mY+
29.10.2011, 10:57	Chemiker	Auf diesen Beitrag antworten »
(x-y)^2 muss größer oder gleich 0 sein ist mein Ergebnis. Die Fallunterscheidung hebt sich zum Ende hin wieder auf. x und y müssen also entweder beide größer oder kleiner 0 sein. Vielen Dank
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