Diskrete Gleichverteilung

29.10.2011, 09:58

ChrisL1988

Diskrete Gleichverteilung

Hallo Leute,

folgende Aufgabenstellung wäre zu bewältigen:

Gegeben sei die diskrete Gleichverteilung X auf der Menge {1,2,...,n} durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion f mit f(1) = f(2) = ... = f(n) = 1/n. Man zeige, dass der Erwartungswert und die Varianz von X gegeben sind durch

$\begin{eqnarray*} µ = E(X) = \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = Var(X) = \frac{n^2 -1}{12} \end{eqnarray*}$

Hinweis: Es gilt $\begin{eqnarray*} 1 + 4 + ... + n^2 = n \cdot (n + 1) \cdot (2 \cdot n + 1) / 6 \end{eqnarray*}$

Gut, mein Ansatz war nun einmal gemäß den Formeln für den Mittelwert anzusetzen:

$\begin{eqnarray*} µ = E(X) = \sum \limits_{i=1}^{n}\ x_i \cdot f(x_i) = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + ... + \frac{n}{n} \end{eqnarray*}$

Aber selbst hier habe ich derzeit noch keine Ahnung, wie ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$ komme.

Danke im Voraus und lg
Chris

29.10.2011, 10:04

René Gruber

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Hilft dir denn wenigstens

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n}{n} = \frac{1 + 2+ \ldots + n}{n} \end{eqnarray*}$

weiter?

29.10.2011, 10:12

ChrisL1988

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Zitat:

Original von René Gruber
Hilft dir denn wenigstens

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n}{n} = \frac{1 + 2+ \ldots + n}{n} \end{eqnarray*}$

weiter?

Nein, auf das wäre ich selbst noch gekommen. Ich meine, wenn ich es mit Zahlen durchrechne, weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$ stimmt, aber von diesem Term komme ich dort nicht hin unglücklich

29.10.2011, 10:56

Math1986

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Zitat:

Original von ChrisL1988

Nein, auf das wäre ich selbst noch gekommen. Ich meine, wenn ich es mit Zahlen durchrechne, weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$ stimmt, aber von diesem Term komme ich dort nicht hin unglücklich

Dann verweise ich mal auf die Gauß'sche Summenformel.

29.10.2011, 11:22

ChrisL1988

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Zitat:

Original von Math1986
Dann verweise ich mal auf die Gauß'sche Summenformel.

Danke, dieser Zusammenhang hat mir gefehlt Freude

Zur Vollständigkeit, hier die ganze Rechnung:

$\begin{eqnarray*} µ = E(X) = \sum \limits_{i=1}^{n}\ x_i \cdot f(x_i) = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + ... + \frac{n}{n} = \frac{1 + 2 + ... + n}{n} = \frac{\frac{n \cdot (n + 1)}{2}}{n} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2 \cdot n} = \frac{n + 1}{2} \end{eqnarray*}$

Gut, dann weiter zur Varianz, ich habe mit folgendem gestartet:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = Var(X) = \sum \limits_{i=1}^{n}\ (x_i - µ)^2 \cdot f(x_i) = (\frac{1}{n} - \frac{n+1}{2})^2 \cdot \frac{1}{n} + (\frac{2}{n} - \frac{n+1}{2})^2 \cdot \frac{1}{n} + ... + (\frac{n}{n} - \frac{n+1}{2})^2 \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass ich irgendwie auf die Form des Hinweises aus der Angabe kommen muss, da dieser essentiell für diese Aufgabe zu sein scheint.

29.10.2011, 11:26

Math1986

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Verwende die Verschiebungsformel:
$\begin{eqnarray*} Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$

29.10.2011, 11:49

ChrisL1988

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Zitat:

Original von Math1986
Verwende die Verschiebungsformel:
$\begin{eqnarray*} Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$

Manchmal braucht es nur die richtigen Hinweise smile

$\begin{eqnarray*} Var(X) = E(X^2) - µ^2 = \sum \limits_{i=1}^{n}\ x_i^2 \cdot f(x_i) - µ^2 = (1^2 + 2^2 + ... + n^2) \cdot \frac{1}{n} - (\frac{n+1}{2})^2 = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}{6n} - \frac{n^2 + 2n + 1}{4} = \frac{2n^2 + 2n + n + 1}{6} - \frac{n^2 + 2n + 1}{4} = \frac{4n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n - 3}{12} = \frac{n^2 - 1}{12} \end{eqnarray*}$

Danke Freude

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