Klassifikation von Gruppen der Ordnung 2p, p Prim

29.10.2011, 11:34

Shalec

Klassifikation von Gruppen der Ordnung 2p, p Prim

Hallo,

ich habe hier ein Beispiel, was ich nicht so ganz nachvollziehen kann (die nicht nachvollziehbaren Stellen werden mit (*) markiert):

Für $\begin{eqnarray*} p\geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt nach Cauchy:
$\begin{eqnarray*} \exists g,a\in G\ :\ |g|=p,\ |a|=2 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} H=<g>\ \Rightarrow\ |H|=p,\ [G:H]=2 \end{eqnarray*}$ (Nach Lagrange). Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} H \triangleleft G \end{eqnarray*}$ (da der Index dieser Untergruppe 2 ist)
nun steht da mit ein wenig Abstand nur noch:

$\begin{eqnarray*} (*_1) aga^{-1}=aga=g^t,\ g=a^2ga^2=a(aga)a=ag^ta=(aga)^t=g^{t^2},\ <br /> (*_2) g^{t^2-1}=R\ \Rightarrow p|(t^2-1)=(t+1)(t-1)\ \Rightarrow (g|(t-1))\vee (g|(t+1)) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} p|(t-1) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (*_3) (t-1)=0 (mod\ p) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} aga^{-1}=g^t=g \Rightarrow ag=ga,\ G=<a><g>\tilde{=}<a>\times <g>\tilde{=}\mathbb Z_2\times\mathbb Z_p\tilde{=}\mathbb Z_{2p} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} p|(t+1) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (*_4) (t+1)=1(mod\ p) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} aga^{-1}=g^{-1}\ \Rightarrow ag=g^{-1}a,\ G=<a,g>,\ a^2=e,\ g^p=e\ \Rightarrow G\tilde{=} D_{2p} \end{eqnarray*}$

Vermutlich ist mit "D" die Diedergruppe gemeint. Jedes Wort, was hier steht wurde von mir interpretiert, tatsächlich habe ich alles 1 zu 1 abgeschrieben, und um den lesefluss zu verbessern ein paar Wörter eingefügt. In meinem Skript steht das ohne jede Erklärung als Beispiel.

Zu $\begin{eqnarray*} (*_1) \end{eqnarray*}$ ich sehe nicht, warum aus der Normalteilereigenschaft $\begin{eqnarray*} aga^{-1}=aga \end{eqnarray*}$ folgert. Wobei mir grad was dämmert.. |a|=2 und damit $\begin{eqnarray*} a=a^{-1} \end{eqnarray*}$ .. gut damit wäre das hier geklärt. aber warum ist dann $\begin{eqnarray*} aga=g^t \end{eqnarray*}$ , und wofür steht hier das "t"? Eine beliebige Zahl?

Zu $\begin{eqnarray*} (*_2) \end{eqnarray*}$ Warum kann ich einfach $\begin{eqnarray*} ag^ta=(aga)^t \end{eqnarray*}$ setzen? Was bringt mir die Tatsache $\begin{eqnarray*} g^{t^2-1}=R \end{eqnarray*}$ damit keine ich keine Teilbarkeit oder sonstiges ablesen! Ich kann daraus auch nicht das folgern, was daraus gefolgert wurde, daher vermute ich, dass dort ein Fehler liegen wird.

zu $\begin{eqnarray*} (*_{3,4}) \end{eqnarray*}$ mir ist das erste Gleichheitszeichen nicht klar. vielfache von p müssen doch immer 0 mod p ergeben.. daher denke ich, dass da auch ein Fehler ist...

Wer könnte mir das Beispiel richtig erklären? (Bemerkung: Ich hatte bislang noch keine Klassifikationstheorie, auch die Diedergruppe wurde während der Algebra-Vorlesung nicht eingeführt und das Modul ist bereits abgeschlossen, die Prüfung ist am Freitag).

29.10.2011, 12:01

galoisseinbruder

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|g| steht für ord(g)= |<g>| ,oder? (hab die Notation so noch nie gesehen. )

Zitat:

warum ist dann $\begin{eqnarray*} aga=g^t \end{eqnarray*}$ , und wofür steht hier das "t"? Eine beliebige Zahl?

Da H NT ist $\begin{eqnarray*} aga^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ und die |H|=p ist H zyklisch, erzeugt von g. Damit existiert so ein $\begin{eqnarray*} 0\leq t <p \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ag^ta=(aga)^t \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} a^2=e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (*_2) g^{t^2-1}=R\ \Rightarrow p|(t^2-1)=(t+1)(t-1)\ \Rightarrow (g|(t-1))\vee (g|(t+1)) \end{eqnarray*}$
Mcht für mich nur so Sinn:
$\begin{eqnarray*} ( (*_2) g^{t^2-1}=e\ \Rightarrow p|(t^2-1)=(t+1)(t-1)\ \Rightarrow (ord(g)|(t-1))\vee (ord(g)|(t+1)) \end{eqnarray*}$

Dann schun mer mal mit dem Rest weiter.

29.10.2011, 13:54

Shalec

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
|g| steht für ord(g)= |<g>| ,oder? (hab die Notation so noch nie gesehen. )

Genau!

Zitat:

Original von galoisseinbruder

Zitat:

warum ist dann $\begin{eqnarray*} aga=g^t \end{eqnarray*}$ , und wofür steht hier das "t"? Eine beliebige Zahl?

Da H NT ist $\begin{eqnarray*} aga^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ und die |H|=p ist H zyklisch, erzeugt von g. Damit existiert so ein $\begin{eqnarray*} 0\leq t <p \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ag^ta=(aga)^t \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} a^2=e \end{eqnarray*}$

ja stimmt. hab die zyklische erzeugung übersehen >.< ohje..

Zitat:

Original von galoisseinbruder
$\begin{eqnarray*} (*_2) g^{t^2-1}=R\ \Rightarrow p|(t^2-1)=(t+1)(t-1)\ \Rightarrow (g|(t-1))\vee (g|(t+1)) \end{eqnarray*}$
Mcht für mich nur so Sinn:
$\begin{eqnarray*} ( (*_2) g^{t^2-1}=e\ \Rightarrow p|(t^2-1)=(t+1)(t-1)\ \Rightarrow (ord(g)|(t-1))\vee (ord(g)|(t+1)) \end{eqnarray*}$

Dann schun mer mal mit dem Rest weiter.

Ja genau.. g sollte p sein.. also ord(g)=p.
und mit deiner Korrektur macht das auch mehr sinn. das R war vorher nicht wirklich definier worden (wird später für allgemiene ringe verwendet).

Vielen Dank schonmal smile

29.10.2011, 14:11

galoisseinbruder

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Weiter geht´s :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p|(t-1) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (*_3) (t-1)=0 (mod\ p) \end{eqnarray*}$

ist richtig, verwendet wird die Form $\begin{eqnarray*} t \equiv 1 \mod p \end{eqnarray*}$
ag=ga zeigt übrigens, dass G abelsch ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p|(t+1) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (*_4) (t+1)=\color{red}{0} (mod\ p) \end{eqnarray*}$

ist jetzt richtig, verwendet wird die Form $\begin{eqnarray*} t \equiv -1 \mod p \end{eqnarray*}$
Und D ist hier die Diedergruppe (hier in der Relationendefinition).

Klassifikationstheorie an sich gibt´s eigentlich nicht; Es gehört halt zur Gruppentheorie
(und auch entsprechend in anderen Teilen der Mathematik) welche Gruppen es bis auf Isomorphie gibt.
In der Vorlesung habt ihr ja sicherlich auch alle zyklischen Gruppen klassifiziert, ebenso wie Gruppen der Ordnung p².

29.10.2011, 14:34

Shalec

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Weiter geht´s :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p|(t-1) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (*_3) (t-1)=0 (mod\ p) \end{eqnarray*}$

ist richtig, verwendet wird die Form $\begin{eqnarray*} t \equiv 1 \mod p \end{eqnarray*}$
ag=ga zeigt übrigens, dass G abelsch ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p|(t+1) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (*_4) (t+1)=\color{red}{0} (mod\ p) \end{eqnarray*}$

ist jetzt richtig, verwendet wird die Form $\begin{eqnarray*} t \equiv -1 \mod p \end{eqnarray*}$
Und D ist hier die Diedergruppe (hier in der Relationendefinition).

Ah dann macht das jetzt auch Sinn. Danke smile

Zitat:

Original von galoisseinbruder
Klassifikationstheorie an sich gibt´s eigentlich nicht; Es gehört halt zur Gruppentheorie
(und auch entsprechend in anderen Teilen der Mathematik) welche Gruppen es bis auf Isomorphie gibt.
In der Vorlesung habt ihr ja sicherlich auch alle zyklischen Gruppen klassifiziert, ebenso wie Gruppen der Ordnung p².

Die zyklischen Gruppen hatten wir einmal kurz definiert und eine Übungsaufgabe zu gerechnet, das wars smile

Über die Klassifizierung habe ich mich nur durch Wikipedia und dem Buch von Karpfinger, Meyberg - Algebra aufgearbeitet.

Nunja.. ist also die Klassifizierung das Rückführen auf Isomorphie?

29.10.2011, 14:46

galoisseinbruder

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Klassifizierung ist der Angabe aller möglichen, von einander verschiedenen Isomorphietypen. Man könnte auch sagen die Angabe der Aquivalenzklassen der in Frage kommenden Gruppen modulo der Äquivalenzrelation "Isomorphie von Gruppen".

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