Zentraler Grenzwertsatz Standardnormalverteilung

29.10.2011, 11:51	Kreuzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentraler Grenzwertsatz Standardnormalverteilung Meine Frage: Hallo zusammen! Wollte mir anhand des Würfelwurfs den zentralen Grenzwertsatz verdeutlichen. X1=1.Würfelwurf, X2=2.Würfelwurf. Nun scheitere ich aber an der Formel $\begin{eqnarray} Z_n=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=1}^n \frac{X_j-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich hab das ganze in Excel gemacht und jetzt als Bilder hochgeladen und habe nun irgendwie 2 Wege: 1. Weg: Ich betrachte die 2 Würfelwürfe getrennt und standardisiere dann $\begin{eqnarray} Z_n \end{eqnarray}$ : Da scheitert es irgendwie... 2. Weg: Ich berechne X=X1+X2 und standardisiere dann... Sind diese Wege identisch? (Meines Erachtens nicht) Wie berechne ich genau den 1.Weg?
29.10.2011, 12:10	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir berechneten Varianzwerte sind sämtlich falsch. Außerdem: Von welchem $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ redest du? Bisher hast du nun die Verteilung von $\begin{eqnarray} Z_2 \end{eqnarray}$ berechnet, nun gut - aber was hast du im weiteren vor?
29.10.2011, 12:41	kreuzkruzifix	Auf diesen Beitrag antworten »
meine Varianzen sind jetzt: $\begin{eqnarray} Var(X1)=Var(X2)=\frac{35}{12}, Var(X)=\frac{35}{6} \end{eqnarray}$ . Mir ist schon klar, dass für die Konvergenz von $\begin{eqnarray} Z_n \end{eqnarray}$ gegen die Standardnormalverteilung $\begin{eqnarray} n\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gelten muss. Aber man sieht eben schon bei n=5 eine Häufigkeitsverteilung, die der Standardnormalverteilung sehr nahe kommt. Daher wollte ich es eben mal mit n=2 ausprobieren. Meine Frage ist: Ich kann die Formel $\begin{eqnarray} Z_n \end{eqnarray}$ nicht anwenden auf meine $\begin{eqnarray} X_j \end{eqnarray}$ . Wie geht das ohne dass ich $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ verwende. Ich hab da bestimmt nur einen ganz ganz kleinen Denkfehler- mein $\begin{eqnarray} X1, X2 \end{eqnarray}$ habe ich in der Grafik ja schon standardisiert (jetzt natürlich mit fehlerhafter Varianz). Was muss ich jetzt machen damit ich auf $\begin{eqnarray} Z_2 \end{eqnarray}$ komme?
29.10.2011, 12:43	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe immer noch nicht, wo genau dein Problem liegt. Die Verteilung der Summe $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ ergibt sich als (diskrete) Faltung der Verteilungen von $\begin{eqnarray} X_1,X_2 \end{eqnarray}$ - ist dort dein Problem, oder wo sonst?
29.10.2011, 13:00	kreuzkruzifix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs gecheckt, ich war nur zu blöd, die Formel richtig anzuwenden: $\begin{eqnarray} X1=\{1,2,3,4,5,6\}, X2=\{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray}$ auf das $\begin{eqnarray} Z_2 \end{eqnarray}$ komme, ohne dass ich zuerst $\begin{eqnarray} X=X1+X2 \end{eqnarray}$ berechne, also $\begin{eqnarray} Z_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left( \frac{X_1-\mu}{\sigma}+ \frac{X_2-\mu}{\sigma}\right)=\{-2,070196678;-1,242118007;-0,414039336;<br /> 0,414039336;1,242118007;2,070196678\} \end{eqnarray}$ Super Danke!
29.10.2011, 13:06	kreuzkruzifix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie komm ich jetzt da auf meine Wahrscheinlichkeiten, sodass ich ein Histogramm zeichnen kann?
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29.10.2011, 13:54	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit deinem $\begin{eqnarray} X=X_1+X_2 \end{eqnarray}$ ist dann gemäß Standardisierung $\begin{eqnarray} Z_2 = \frac{X-E(X)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)}} = \frac{X-7}{\sqrt{\frac{35}{6}}} \end{eqnarray}$ , d.h. es ist dann $\begin{eqnarray} P(X = k) = P\left( Z_2 = \frac{k-7}{\sqrt{\frac{35}{6}}} \right) \end{eqnarray}$ , d.h. die Wahrscheinlichkeitswerte bleiben bei dieser Standardisierungstransformation erhalten, es ändern sich nur die Stellen, denen diese Werte zugeordnet werden. Mögliche $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ sind nun die Werte 2,...,12, die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P(X = k) \end{eqnarray}$ ergeben sich wie bereits erwähnt über die diskrete Faltung.
30.10.2011, 08:52	kreuzkruzifix	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank!!

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