Gleichung mit natürlichem Logarithmus lösen

29.10.2011, 12:48

Schtizzel

Gleichung mit natürlichem Logarithmus lösen

Meine Frage:
Ich komme zur Zeit bei dieser Aufgabe kein Stückchen weiter:

Für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung erfüllt?

$\begin{eqnarray*} ln(1+\frac{1}{x})-ln(4x+4)= -ln4x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Auf alle Fälle müsste man erstmal so umformen, dass man dann am Ende gekonnt alle ln herauskürzen und man dann ablesen kann, für welche x das gilt.

29.10.2011, 12:59

Bjoern1982

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Joa dann benutze doch mal ein paar Logarithmengesetze deiner Wahl.

29.10.2011, 13:13

Schtizzel

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Hilft mir viel, danke.

Konkretere Hinweise wären nicht schlecht, da es ja offensichtlich ist, dass man Algorithmengesetzte benutzen muss.

29.10.2011, 13:16

Gast11022013

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Damit man konkreter werden kann, solltest Du mal Deine Rechenschritte/ Ideen aufschreiben!

29.10.2011, 13:19

Schtizzel

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O.k. - was ich schon habe ist gar nichts. Ich sitze immer noch vor der Aufgabe und mir fällt absolut nichts ein, was man da machen muss.

Das Einzige was mir einfällt ist, dass $\begin{eqnarray*} -ln(a) = ln(1/a) \end{eqnarray*}$ ist.
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} ln(1) = 0 \end{eqnarray*}$ somit wäre der erste Teil der Logarithmusgleichung null, da man ja auch einzeln logarithmieren kann.

29.10.2011, 13:23

René Gruber

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Statt leicht pikiert auf die Hinweise mit den Logarithmengesetzen (nicht "Algorithmengesetze" unglücklich

) zu reagieren, solltest du diese Gesetze wirklich mal anschauen, es reicht ja bereits $\begin{eqnarray*} \ln(a)+\ln(b) = \ln(a\cdot b) \end{eqnarray*}$ , sofern du vorher deine Gleichung zu

$\begin{eqnarray*} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) + \ln(4x) = \ln(4x+4) \end{eqnarray*}$

umgruppierst.

29.10.2011, 13:23

Gast11022013

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Das Stichwort ist doch schon gefallen: Logarithmengesetze

Wenn Du die nicht kennst, lerne sie kennen:

http://www.mathe1.de/mathematikbuch/loga...gesetze_131.htm

29.10.2011, 14:38

Schtizzel

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Also dann fang ich mal an:
$\begin{eqnarray*} ln(1+1/x)-ln(4x+4)=-ln4x \end{eqnarray*}$ | Gesetz $\begin{eqnarray*} ln(a)-ln(b)=ln(a/b) \end{eqnarray*}$ anwenden

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1+1/x}{4x+4})=-ln4x \end{eqnarray*}$ | linke Seite kürzen (Das hat mir mein Taschenrechner ausgegeben. Es wäre nett, wenn mir jemand die Umformung erklären könnte.)

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{4x})=-ln4x \end{eqnarray*}$ | + $\begin{eqnarray*} ln4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{4x})+ln4x=0 \end{eqnarray*}$ | oben erwähnte Gesetz anwenden

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{4x}{4x})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

damit müsste dann gelten, dass die Gleichung für alle x im genannten Bereich lösbar ist.

29.10.2011, 14:40

René Gruber

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Zitat:

Original von Schtizzel
damit müsste dann gelten, dass die Gleichung für alle x im genannten Bereich lösbar ist.

Also für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Dann setze mal $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ in die Originalgleichung ein...

29.10.2011, 14:41

Schtizzel

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Außer x=0, da die Division durch null nicht definiert.

29.10.2011, 14:42

René Gruber

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Nicht raten...
Für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung also auch erfüllt?

29.10.2011, 14:45

Schtizzel

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RE: Nicht raten...
Habe vergessen, dass ln(negative Zahl/Wert) auch nicht definiert ist. Sollte mir also erst immer die Gleichung angucken und dort schon Einschränkungen finden.

Demnach müssten alle negativen x-Werte auch wegfallen.

29.10.2011, 14:47

René Gruber

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Genauso ist es: Deine Umformungen haben ergeben, dass die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich der Gleichungsterme gilt - aber dieser Definitionsbereich ist schon gründlich zu ermitteln! Augenzwinkern

29.10.2011, 14:50

Schtizzel

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Danke für die Hilfe. Ist halt dumm, wenn man zwischen Abi und Uni noch ein Jahr Zivi machen musste . Da vergisst man, wie ich sehe, relativ viel.

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