Stochastischer Prozess- Verständnisfrage

29.10.2011, 12:49	kreuzkruzifix	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastischer Prozess- Verständnisfrage Meine Frage: Ein einfaches Beispiel für einen zeitdiskreten Punktprozess ist der symmetrische Random Walk, hier veranschaulicht durch ein Glücksspiel: ein Spieler beginnt zum Zeitpunkt t=0 mit einem Startkapital von 10 Euro ein Spiel, bei dem er nacheinander immer wieder eine Münze wirft. Bei ?Kopf? gewinnt er einen Euro, bei ?Zahl? verliert er einen. Der Kontostand $\begin{eqnarray} X_t, t\in N_0 \end{eqnarray}$ nach t Spielen ist nun ein stochastischer Prozess (mit deterministischer Startverteilung $\begin{eqnarray} X_0 = 10 \end{eqnarray}$ ). Meine Ideen: Hallo zusammen! Finde das Beispiel bei Wikipedia gut, nur weiß ich nicht, was da jetzt mein $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ ist. Kann mir das jemand erklären? Vielen Dank schon im Voraus!
29.10.2011, 13:10	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Du redest davon, wie der Wahrscheinlichkeitsraum für diesen Random Walk aussieht? Der ist i.a. nicht festgeschrieben, es muss lediglich dafür gesorgt werden, dass er "groß" genug ist, dass sämtliche auftauchenden Zufallsgrößen auch wirklich messbar sind. Das erfüllt z.B. die kanonische Konstruktion $\begin{eqnarray} \Omega = \{-1,+1\}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ besteht aus allen möglichen Zahlenfolgen $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ , die nur die Werte -1 oder +1 annehmen, d.h. $\begin{eqnarray} \omega = (\omega_1,\omega_2,\ldots) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \omega_k \in \{-1,+1\} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . In dem Sinne ist dann $\begin{eqnarray} Y_t(\omega) := \omega_t \end{eqnarray}$ der Zuwachs zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} X_t = X_{t-1}+Y_t \end{eqnarray}$ . Die zugehörige Sigma-Algebra sowie das Wahrscheinlichkeitsmaß wird über sogenannte Zylindermengen definiert. Darunter versteht man $\begin{eqnarray} A_{y_1,\ldots,y_n} := \left\{ \omega\in \Omega \bigm\| \omega_1=y_1,\ldots,\omega_n=y_n \right\} \end{eqnarray}$ , für die wird das W-Maß entsprechend $\begin{eqnarray} P\left( A_{y_1,\ldots,y_n} \right) := \frac{1}{2^n} \end{eqnarray}$ festgelegt. Der W-Raum $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray}$ wird schließlich komplettiert durch die Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ , welche als kleinste Sigma-Algebra definiert wird, die sämtliche Zylindermengen (d.h. über alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} y_1,\ldots,y_n \end{eqnarray}$ ) enthält.
30.10.2011, 08:47	kreuzkruzifix	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke! Ich hab mal ein Bild zu der Aufgabe gemalt- stimmt das so? Mein w1 wäre dann, wenn immer nur gewonnen wird und mein w2, wenn immer nur verloren wird.

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