beweisen einer ungleichung

29.10.2011, 13:01

Flori1990

beweisen einer ungleichung

hey leute...sitz grad an meinen LA hausaufgaben und ich muss eine ungleichung beweisen ( methode ist egal )

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq \frac{n^{2}*x^{2}}{4} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

hab schon paar sachen wie induktion probiert aber bis jetzt noch nix brauchbares "entdeckt" ..
hab mir überlegt ob man vllt die bernoullische ungleichung irgendwie benutzen kann .. hab aber bis jetzt noch keine idee dazu...

wäre für einen kleinen tipp dankbar

lg flo

29.10.2011, 14:51

weisbrot

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RE: beweisen einer ungleichung
hallo!
zuerst wurzel ziehen und dann BU.
lg

29.10.2011, 14:55

René Gruber

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RE: beweisen einer ungleichung
@weisbrot

Für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ braucht man dann aber die BU für nichtganzzahlige Exponenten. Deren Nachweis ist nicht ganz so trivial...

Eine Alternative bietet die direkte Anwendung des Binomischen Satzes, wo man abschätzt, indem man alle Glieder außer dem quadratischen wegfallen lässt.

29.10.2011, 14:57

weisbrot

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RE: beweisen einer ungleichung
@rené gruber: ja stimmt natürlich, danke! mit binom. lehrsatz sinds dann ein par zeilen mehr. lg

29.10.2011, 19:16

Flori1990

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sorry

aber BU ?!?!

29.10.2011, 19:18

weisbrot

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bernoullische ungleichung Augenzwinkern

29.10.2011, 23:06

Flori1990

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wenn ich das jetzt mim binomischen lehrsatz versuch ... dann kommich ja nach dem umformen auf

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * x^{k} \end{eqnarray*}$

wie kann ich da jetzt irgendwas abschätzen ?

29.10.2011, 23:12

René Gruber

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Lesen ist eine echte Alternative zum unnötigen fragen:

Zitat:

Original von René Gruber
Eine Alternative bietet die direkte Anwendung des Binomischen Satzes, wo man abschätzt, indem man alle Glieder außer dem quadratischen wegfallen lässt.

29.10.2011, 23:43

Flori1990

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^^ mir ist schon klar dass du das geschrieben hast... aber warum darf ich dass so einfach machen

30.10.2011, 17:37

Flori1990

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geht dass weil vorraus gesetzt ist das n größer gleich 2 ist oder wie ?!

30.10.2011, 17:41

René Gruber

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Weil wegen $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ alle Glieder dieser Binomischen Summe nichtnegativ sind, und deswegen nach unten durch 0 abgeschätzt werden dürfen (entspricht ja dem "Weglassen"):

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k \geq \binom{n}{2} x^2 \end{eqnarray*}$ .

Und ja, das geht natürlich nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ , weil sonst $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ja (noch) gar nicht zur Summe gehört.

30.10.2011, 19:11

Flori1990

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ich hab jetzt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} * x^{2} \geq \frac{n^{2} *x^{2} }{4} \end{eqnarray*}$

soweit umgefortm, dass ich jetz da stehn hab

$\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2*n \end{eqnarray*}$

und dass hab ich dann nohcmal gesondert mit vollständiger induktion gezeigt.... is dass soweit korrekt ?!

wobei mir aber irgendwie noch nicht ganz klar ist, warum ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} * x^{2} \geq \frac{n^{2} *x^{2} }{4} \end{eqnarray*}$ dass behaupten kann#

und reicht es dann zu zeigen, dass diese aussage stimmt oder muss ich das auch noch für n+1 zeigen ^^ tschuldigung für die vielen fragen

30.10.2011, 19:13

René Gruber

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Zitat:

Original von Flori1990
$\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2*n \end{eqnarray*}$

und dass hab ich dann nohcmal gesondert mit vollständiger induktion gezeigt

Man kann die Sache auch übertreiben - dass das für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt, sollte auch einfacher zu begründen sein. Big Laugh

30.10.2011, 19:26

Flori1990

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des war jetzt wirklcih diletantisch Big Laugh

verdammt

tschuldigung

aber nochmal zu dem vorher ... warum weiß ich denn dass die abschätzung definitiv grörßer gleich dem andern term ist

30.10.2011, 19:28

René Gruber

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Ich dachte, das hast du gerade gemacht? Man kann - mit oder ohne Induktion - die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \binom{n}{2} \geq \frac{n^2}{4} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ nachweisen. Dann noch mit $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, fertig.

30.10.2011, 21:45

Flori1990

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ja hab ich auch alles gemacht stimmt schon ...
aber wie komm ich büerhaupt auf den gedanken, diese abschätzung zu machen un zu denken dass sie auch stimmt ..

01.11.2011, 02:03

D Noob

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hi kurz ne Frage
wie kommt man von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} * x^{2} \geq \frac{n^{2} *x^{2} }{4} \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2*n \end{eqnarray*}$

ist das nicht $\begin{eqnarray*} \frac{n!*x^{2}}{2!*(n-2)!} \geq \frac{n^{2} *x^{2} }{4} \end{eqnarray*}$

also mit 4 multipliziert und x^{2} rausgekürzt komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{2n!}{(n-2)!} \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ oder hab ich was falsch gemacht

und wie kann ich $\begin{eqnarray*} \binom{n}{2} \geq \frac{n^2}{4} \end{eqnarray*}$ ohne Induktion beweisen?

danke schon mal im vorraus

01.11.2011, 10:09

René Gruber

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Nach Rauskürzen aller Fakultäten gelangt man zu $\begin{eqnarray*} \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ , es ist also

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{2} \geq \frac{n^2}{4} \end{eqnarray*}$

nachzuweisen. Nach Subtraktion der rechten Seite und Multiplikation mit 4 ist das äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} 2n(n-1) - n^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n(n-2) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist das sicher richtig, da beide Faktoren links dann nichtnegativ sind. Sowas stattdessen mit Induktion beweisen zu wollen, ist an Umständlichkeit kaum zu überbieten - aber das habe ich oben ja schon (mehr oder weniger deutlich) gesagt. Augenzwinkern

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