gleichung mit 3 variablen

29.10.2011, 13:03

so3

gleichung mit 3 variablen

hallo,
ich will für folgende gleichung:

$\begin{eqnarray*} a²(1-bx)²+b²(ax-1)²=a²+b² \end{eqnarray*}$

mit festgelegtem

$\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

alle lösungen

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

ermitteln.

ich versuche das ganze jetzt schon zum 6. mal und bleibe immer am ende bei

$\begin{eqnarray*} x=\frac{-a-b}{ab} \end{eqnarray*}$

hängen.

kann vielleicht jemand von euch mal nachvollziehen ob ich nicht doch an einer stelle irgendetwas grundlegend verkehrt gemacht habe?

für denkanstöße zur weiteren vorgehensweise wäre ich auch sehr dankbar!

mfg so3

29.10.2011, 13:46

René Gruber

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Zitat:

Original von so3
kann vielleicht jemand von euch mal nachvollziehen ob ich nicht doch an einer stelle irgendetwas grundlegend verkehrt gemacht habe?

Zunächst mal ist da ein Vorzeichenfehler beim Gesamtergebnis.

Wenn du den korrigiert hast: Ist das wirklich die einzige Lösung für alle in Frage kommenden Parameterkombinationen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ? Was ist z.B., wenn einer oder beide Parameter $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gleich Null sind? verwirrt

Hinweis: Versuche erstmal, die Gleichung soweit wie möglich äquivalent umzuformen. Dabei enthalte dich insbesondere jeglicher Divisionen durch Werte, bei denen du nicht hundertprozentig sicher bist, dass sie nicht ggfs. gleich Null werden können!!!

29.10.2011, 15:25

so3

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ok ich hab nochmal alles nachgerechnet, also die lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a+b}{ab} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ hätte dann nur eine lösung falls $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ da sonst division durch 0.

aber wie gibt man nun die lösungen von x korrekt an?

wäre die richtige antwort dann:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a+b}{ab} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R\neq 0 \cap b\in \mathbb R\neq 0 \end{eqnarray*}$

oder wie formuliert man das?

29.10.2011, 15:53

René Gruber

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Auch im Fall $\begin{eqnarray*} a\neq 0, b\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist das nicht die einzige Lösung der Gleichung: $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist auch stets Lösung der Gleichung!!!

Irgendwo auf dem Weg hast du diese Lösung verschlampt - ich hatte dir ja noch einen Hinweis gegeben, den du leider nicht ernstgenommen hast.

Und was den anderen Fall (a=0 oder b=0) betrifft: Es stimmt nicht, dass die Gleichung in diesem Fall keine Lösung hat - ganz im Gegenteil!

29.10.2011, 16:23

so3

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$\begin{eqnarray*} a²(1-bx)²+b²(ax-1)²=a²+b² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a²((1-bx)(1-bx))+b²((ax-1)(ax-1))=a²+b² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a²(1-bx-bx+b²x²)+b²(a²x²-ax-ax+1)=a²+b² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a²(1-2bx+b²x²)+b²(a²x²-2ax+1)=a²+b² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a²-2a²bx+a²b²x²+a²b²x²-2ab²x+b²=a²+b² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2a²bx+2a²b²x²-2ab²x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a²b²x²=2a²bx+2ab²x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(a²b²x²)=2(a²bx+ab²x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a²b²x²=a²bx+ab²x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} abx(abx)=abx(a+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} abx=a+b \end{eqnarray*}$

ich sehe an der letzten stelle irgendwie einfach keine andere lösung als die division durch "ab".

jetzt stehe ich völlig auf dem schlauch verwirrt

29.10.2011, 17:08

René Gruber

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Zitat:

Original von René Gruber
Hinweis: Versuche erstmal, die Gleichung soweit wie möglich äquivalent umzuformen. Dabei enthalte dich insbesondere jeglicher Divisionen durch Werte, bei denen du nicht hundertprozentig sicher bist, dass sie nicht ggfs. gleich Null werden können!!!

Und was machst du von der vorletzten zur letzten Zeile:

Zitat:

Original von so3
$\begin{eqnarray*} abx(abx)=abx(a+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} abx=a+b \end{eqnarray*}$

Division durch $\begin{eqnarray*} abx \end{eqnarray*}$ . Finger1

Noch Fragen? Augenzwinkern

29.10.2011, 17:28

so3

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ich weiss aber beim besten willen nicht wie ich sonst nach x umstellen könnte.

29.10.2011, 17:34

René Gruber

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Solltest du eigentlich kennen...

Zitat:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Elementar, ja trivial - dennoch eines der wichtigsten Prinzipien der Gleichungslösung. Augenzwinkern

Im vorliegenden Fall geht es um die zu deiner vorletzten Zeile (die noch richtig war) äquivalenten Gleichung

$\begin{eqnarray*} abx(abx-(a+b)) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Links stehen vier Faktoren: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} abx-(a+b) \end{eqnarray*}$ .

Du hast nun lediglich den Fall diskutiert, dass der letzte dieser vier Faktoren Null wird - was ist mit den anderen drei?

29.10.2011, 17:38

so3

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ja das sagt mir das a, b oder x 0 sein kann und das, wen dem so ist, beide seiten der gleichung 0 entsprechen.
aber wie soll mir das jetzt dabei helfen alle lösungen für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu ermitteln?

29.10.2011, 17:48

René Gruber

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Du bist also nicht in der Lage, eine Gleichung wie

$\begin{eqnarray*} abx(abx-(a+b)) = 0 \qquad (*) \end{eqnarray*}$

hinsichtlich ihrer Lösbarkeit zu "lesen"? Nun gut, dann eben eine kleine Lehrstunde:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ :

In dem Fall ist (*) bereits erfüllt, gleichgültig wie groß x ist. In der Konsequenz bedeutet das, dass ALLE $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Gleichung (*), und damit auch die Originalgleichung lösen!!!

2.Fall: $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ :

In dem Fall darfst du dann durch $\begin{eqnarray*} ab \neq 0 \end{eqnarray*}$ dividieren, es verbleibt $\begin{eqnarray*} x(abx-(a+b)) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist nun erfüllt, wenn entweder der erste Faktor gleich Null ist, also $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , oder aber der zweite Faktor gleich Null ist, also $\begin{eqnarray*} abx-(a+b)=0 \end{eqnarray*}$ , umgestellt zu $\begin{eqnarray*} x = \frac{a+b}{ab} \end{eqnarray*}$ , also der einen Lösung, die du oben schon hattest.

29.10.2011, 18:05

so3

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das x = 0 sein kann, konnte ich bereits in der ursprungsgleichung ablesen, allerdings dachte ich das es auch rechnerisch darauf hinausläuft das ich an irgendeiner stelle explizit x=0 ablesen kann.

die andere frage die nun noch offen ist, wie formuliert man diese erkenntnis präzise?

$\begin{eqnarray*} -\infty <x \in \mathbb R <\infty \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R = 0\cup b\in \mathbb R=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \neq 0\cap b \in \mathbb R \neq 0 \end{eqnarray*}$

so?

29.10.2011, 18:21

René Gruber

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Zitat:

Original von so3
allerdings dachte ich das es auch rechnerisch darauf hinausläuft das ich an irgendeiner stelle explizit x=0 ablesen kann.

Ist ja auch so! Habe ich doch gerade im letzten Beitrag gesagt.

Zitat:

Original von so3
$\begin{eqnarray*} -\infty <x \in \mathbb R <\infty \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R = 0\cup b\in \mathbb R=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \neq 0\cap b \in \mathbb R \neq 0 \end{eqnarray*}$

Eine extrem schräge Symbolik, die du da pflegst: $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R = 0 \end{eqnarray*}$ geschockt

Hier nochmal gerafft die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ in allen möglichen Parameterfällen:

$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} L = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} L = \left\{ 0 , \frac{a+b}{ab} \right\} \end{eqnarray*}$ .

29.10.2011, 18:26

so3

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immer wenn ich antworte hast du deine antwort schonwieder editiert Big Laugh

jedenfalls vielen dank für die hilfestellung!

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