Eigenschaften von Abbildungen

29.10.2011, 13:25

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Eigenschaften von Abbildungen

Hallo zusammen ,

Ich hab Schwierigkeiten bei 2 Fragen die sich ziemlich ähnlich sind in Bezug auf Abbildungen.Es geht dabei um folgendes :

Seien A,B nichtleere Mengen :

Ist $\begin{eqnarray*} f:A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray*} B\subset B' \end{eqnarray*}$ , dann gibt es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g:A\Rightarrow B' \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \forall a\in A f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ gilt. Ich wollte das wie folgt zeigen :

Sei $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ beliebing (ex. weil A $\begin{eqnarray*} \neq {} \end{eqnarray*}$ ).Das muss doch richtig sein hab mir dabei gedacht was ich im Anhang gezeichnet hab ... Was sagt ihr ?

29.10.2011, 13:46

Abakus

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RE: Eigenschaften von Abbildungen

Zitat:

Original von isbn
... sodass $\begin{eqnarray*} \forall a\in A f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ gilt.

Hallo,

was ist denn das b?

Ansonsten lässt sich der Wertebereich natürlich immer vergrößern.

Abakus smile

29.10.2011, 13:56

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RE: Eigenschaften von Abbildungen

Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von isbn
... sodass $\begin{eqnarray*} \forall a\in A f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ gilt.

Hallo,

was ist denn das b?

Ansonsten lässt sich der Wertebereich natürlich immer vergrößern.

Abakus smile

Hey ! Danke für deine Antwort smile

Also es geht dabei um folgendes ich hatte in der Aufgabe davor folgendes :

ist $\begin{eqnarray*} f:A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray*} B\subset B' \end{eqnarray*}$ ,dann gibt es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g:A\Rightarrow B' \end{eqnarray*}$ ,sodass für $\begin{eqnarray*} \forall A f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ gilt. Da hab ich ganz einfach definiert sei b beliebig dann ist die Abbildung g : f(a) für a aus A und b für A'\A Also so etwas wie im Anhang . B ist in dem Beispiel von oben dass ich als erstes genannt habe auch eine Menge aber wie schreibe ich das jetzt am besten auf ich weiß dass das wahr ist ...

30.10.2011, 09:28

Abakus

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RE: Eigenschaften von Abbildungen
Eigentlich eine einfache Sache. Wird der Wertebereich vergrößert, ok, dann ist er halt größer: an der Definition deiner Funktion ändert sich wenig, nur dass statt des kleineren nun der größere Wertebereich hinter dem Pfeil steht: $\begin{eqnarray*} F : A \to B', F(x) := f(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich nenne die erweiterte Abbildung hier zur Unterscheidung F, denn diese ist von f ja zu unterscheiden.

Wird der Definitionsbereich vergrößert, musst du noch Bilder für alle $\begin{eqnarray*} a \in A' \notin A \end{eqnarray*}$ definieren. Dazu hast du ein festes, beliebiges $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ gewählt und sagst dann:

$\begin{eqnarray*} F : A' \to B, F(x) := \begin{cases} f(x), &~falls~ x \in A \\ b, &~sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

Abakus smile

30.10.2011, 14:07

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Zitat:

Original von Abakus
Eigentlich eine einfache Sache. Wird der Wertebereich vergrößert, ok, dann ist er halt größer: an der Definition deiner Funktion ändert sich wenig, nur dass statt des kleineren nun der größere Wertebereich hinter dem Pfeil steht: $\begin{eqnarray*} F : A \to B', F(x) := f(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich nenne die erweiterte Abbildung hier zur Unterscheidung F, denn diese ist von f ja zu unterscheiden.

Wird der Definitionsbereich vergrößert, musst du noch Bilder für alle $\begin{eqnarray*} a \in A' \notin A \end{eqnarray*}$ definieren. Dazu hast du ein festes, beliebiges $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ gewählt und sagst dann:

$\begin{eqnarray*} F : A' \to B, F(x) := \begin{cases} f(x), &~falls~ x \in A \\ b, &~sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

Abakus smile

Genau das war aber das Beispiel dass ich schon verstanden hatte Big Laugh

Danke dir ! Bei den anderen beiden habe ich genau das gleiche gegeben bis auf jetzt $\begin{eqnarray*} B\subset B' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B'\subset B \end{eqnarray*}$ und beide male bildet g:A->B' ab ... bei diesen hapert es unglücklich

30.10.2011, 14:12

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Aber eigentlich sind die doch auch analog oder nicht ? Beide male wird der Wertebereich doch vergrößert ... traurig

30.10.2011, 19:00

Abakus

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Ich kann dir nicht folgen: $\begin{eqnarray*} B \subseteq B' \end{eqnarray*}$ ist mein erster Fall und das umgekehrte steht in deiner Fragestellung nirgends?

Jetzt geht es dir auch um eine Verkleinerung des Wertebereichs?

Abakus smile

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