Matrix erfüllt Gleichung

29.10.2011, 13:30

chi

Matrix erfüllt Gleichung

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} A\neq I_{n} \end{eqnarray*}$ eine n x n Matrix, die die Gleichung $\begin{eqnarray*} A²-A+cI_{n}=0 \end{eqnarray*}$ für einen Skalar c erfüllt (übrigens I ist die Einheitsmatrix).
Beweisen Sie, dass A genau dann invertierbar ist, wenn $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Die eine Richtung habe ich so gemacht:
$\begin{eqnarray*} A=A²+cI_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ , damit gilt:
$\begin{eqnarray*} (A²+cI_{n}|I_{n}) \Rightarrow (cI_{n}|I_{n}-A²) \Rightarrow (I_{n}|(1/c)(I_{n}-A²)) \end{eqnarray*}$ .
Die andere Richtung macht mir allerdings zu schaffen.

29.10.2011, 13:40

galoisseinbruder

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Dein Beweis ist richtig aber sehr schlecht formuliert. Man kann nur Aussagen folgern, Matrizen sind keine Aussagen. Für die andere Richtung betrachte c=0.

Edit: Frei nach Adenauer: Der Beweis ist falsch, da die Subtraktion von A² keine elementare Zeilenumformung ist.

29.10.2011, 14:01

chi

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Matrix erfüllt Gleichung
Also du meinst: Wir nehmen an A hat eine Inverse und c=0, dann gilt: $\begin{eqnarray*} (A²+cI_{n}|I_{n}) \Rightarrow (cI_{n}|I_{n}-A²) \Rightarrow (I_{n}|(1/c)(I_{n}-A²)) \end{eqnarray*}$ . Widerspruch zur Annahme, dass A invertierbar ist, wegen 1/c. Danke für den Tipp, werde ich im Heft berücksichtigen.

29.10.2011, 14:15

galoisseinbruder

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Nein das meine ich nicht. (es ist auch falsch)
Hast Du meinen Post vollständig gelesen, nicht nur den letzen Satz?

29.10.2011, 15:39

chi

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Matrix erfüllt Gleichung
Das mit der Folgerung habe ich verstanden (Matrizen sind keine Aussagen, also sind Folgerungen nicht möglich), ich hab aber auch geschrieben, dass ich das im Heft berücksichtigen werde. Im Post meine ich mit den Folgerungspfeilen, dass man das so "umstellen" kann, im Grunde wie bei Gleichungen.
Edit: Aber wie sieht es denn aus (mit Ausnahme der Folgerungspfeile), wäre ich damit fertig?

29.10.2011, 15:52

galoisseinbruder

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Es gibt Alternativen das hinzuschreiben, z.B $\begin{eqnarray*} \rightsquigarrow \end{eqnarray*}$ (das verwender ich für Umformungen) oder gleich: $\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{c}(I_n-A^2) \end{eqnarray*}$ .
Falsche Notationen, egal wo verwendet, sollte man sich gar nicht erst angewöhnen. Und Dein Nachsatz mit dem Heft war zumindest für mich unklar formuliert, ging davon aus dass es sich um c=0 als Tipp handelt. Meine Kritik Deiner Notation würde ich als vieles bezeichnen, als Tipp nicht.

zum Edit: Nein, denn du kannst so nicht folgern (Da letzte Umformung geht ja nicht. Das ist aber kein Widerspruch, deine Umformung ist hier schlicht zu Ende.). Gehe von der Matrixgleichung aus.

29.10.2011, 15:58

chi

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Matrix erfüllt Gleichung
Wie du schon festgestellt hast geht der letzte Schritt nicht. Damit könnte man aber die linke Seite nicht so umformen, dass die Einheitsmatrix rauskommt. Dies muss aber doch ein Widerspruch sein, da wir am Anfang ja angenommen haben, dass A invertierbar ist.
Edit: etwas deutlicher: der Widerspruch besteht ja darin, dass A (also die linke Seite) sich zur Einheitsmatrix umformen lassen muss, wenn A invertierbar ist, dies konnten wir aber nicht wegen c=0.
Edit: also kann c nicht gleich 0 sein. Wenn ich also den letzten Schritt, den ich ja dummer weise gemacht habe, weglasse, und so argumentiere wie oben, müsste ich doch fertig sein oder nicht? (und werd natürlich auf Formalitäten achten Augenzwinkern

)

29.10.2011, 16:07

galoisseinbruder

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Du willst aber A² umformen (ist allerdings auch invertierbar). Wenn Du´s sauber ausformulierst gehts.

Meines Erachtens geht´s besser (auch vom formulieren), wenn du $\begin{eqnarray*} A²-A=0 \end{eqnarray*}$ betrachtest und annimmst dass A invertierbar ist.
Dann ergibt sich ein schöner Widerspruch.

29.10.2011, 16:15

chi

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Matrix erfüllt Gleichung
so hab ich´s auch mal probiert , hat mich aber irgendwie nicht weitergebracht

29.10.2011, 16:18

galoisseinbruder

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Da A invertierbar ist, kannst Du die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

29.10.2011, 16:26

chi

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Matrix erfüllt Gleichung
Achso widerspruch, da A ungleich In sein muss
So gehts natürlich auch. Hammer

Danke

30.10.2011, 18:42

Fritz123

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RE: Matrix erfüllt Gleichung

Zitat:

Original von chi
$\begin{eqnarray*} A=A²+cI_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ , damit gilt:
$\begin{eqnarray*} (A²+cI_{n}|I_{n}) \Rightarrow (cI_{n}|I_{n}-A²) \Rightarrow (I_{n}|(1/c)(I_{n}-A²)) \end{eqnarray*}$ .
.

Ich ver suche das gerade achzuvollziehn. Wie liest man das? Diesen Strich zwischen In und cIn?

30.10.2011, 20:06

galoisseinbruder

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Besser ist die Schreibweise:
$\begin{eqnarray*} A=A²+cI_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ , damit gilt:
$\begin{eqnarray*} (A²+cI_{n}|I_{n}) \rightsquigarrow (cI_{n}|I_{n}-A²) \rightsquigarrow (I_{n}|(1/c)(I_{n}-A²)) \end{eqnarray*}$ .
Das ist eine Schreibweise (analog zur erweiterten Koeffizientenmatrix) für einen Algorithmus zur Bestimmung der Inversen mittels elementarer Zeilenumformungen aka Gauß-Jordan-Algorithmus.
Heißt hier nur dass $\begin{eqnarray*} (A^2+cI_n)^{-1}=A^{-1}=\frac{1}{c }(I_n-A^2) \end{eqnarray*}$
Wobei ich grade merke das dass hier völliger Unsinn ist.(auf beiden Seiten -A² ist keine elementare Zeilenumformung).
Es gilt: $\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{c}(I_n-A) \end{eqnarray*}$

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