Umkehrfunktion von e-Funktion

29.10.2011, 13:31	hose	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion von e-Funktion Meine Frage: Hallo! Ich habe ein kleines Problem mit der Bildung einer Umkehrfunktion von e-Funtkionen. Ich soll die Umkehrfunktion von der folgenden Gleichung bilden: $\begin{eqnarray} y=\frac{e^x}{1+e^x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich habe erstmal x und y vertauscht: $\begin{eqnarray} x=\frac{e^y}{1+e^y} \end{eqnarray}$ dann den Nenner multipliziert: $\begin{eqnarray} x(1+e^y) = e^y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+x\cdot e^y = e^y \end{eqnarray}$ und dann den natürlichen Logarithmus gebildet: $\begin{eqnarray} ln(x+x\cdot e^y) = y \end{eqnarray}$ Wenn ich diesen Graphen in einen Funktionsplotter eingebe, dann wird mir gesagt das die Funktion fehlerhaft ist. Was ja auch logisch ist, da die linke Seite ja nicht von y abhängig sein darf. Ich weiß aber nicht wie ich das Problem lösen kann. Ich bitte um Hilfe!
29.10.2011, 13:40	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch geschicktes Kürzen bleibt in der Ausgangsfunktion nur noch ein x übrig lg
29.10.2011, 22:02	hose	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das mal ausprobiert und komme letztlich auf folgendes: $\begin{eqnarray} x(1+e^y)=e^y<br /> <br /> 1+e^y=\frac{e^y}{x}<br /> <br /> y=ln\frac{e^y}{x} <br /> <br /> y=ln e^y-ln x<br /> <br /> y=y-ln x<br /> <br /> 0=-ln x \end{eqnarray}$ Was habe ich für einen Fehler gemacht?
29.10.2011, 22:15	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Fehler: 1) hast Du nicht das getan, was ich gesagt hab 2)Der Sprung von der zweiten zur dritten Zeile ln(1+e^y) ist sicher nicht y Meine Idee war $\begin{eqnarray} \frac{e^x}{1+e^x}= 1-\frac{1}{1+e^x} \end{eqnarray}$ Das umstellen dann ist leicht.
29.10.2011, 22:38	hose	Auf diesen Beitrag antworten »
hm.. das bringt mich irgendwie auch nicht weiter. (Einerseits frag ich mich auch wie du auf $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{1+e^x} \end{eqnarray}$ kommst) $\begin{eqnarray} y=1-\frac{1}{1+e^x} <br /> y+y\cdot e^x=1+e^x-1<br /> y+y\cdot e^x=e^x<br /> ln(y+y\cdot e^x)=x \end{eqnarray}$ Tut mir leid, warscheinlich steh ich aufm Schlauch...
30.10.2011, 10:06	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst natürlich auch hier $\begin{eqnarray} x+x\cdot e^y = e^y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xe^y \end{eqnarray}$ auf die andere Seite bringen, und $\begin{eqnarray} e^y \end{eqnarray}$ dann ausklammern.
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30.10.2011, 15:09	hose	Auf diesen Beitrag antworten »
ah! $\begin{eqnarray} x+x\cdot e^y=e^y<br /> x=e^y-x\cdot e^y<br /> x=e^y(1-x)<br /> lnx=y\cdot lne+ln(1-x)<br /> lnx=y+ln(1-x)<br /> y=lnx-ln(1-x)<br /> y=ln\frac{x}{1-x} \end{eqnarray}$ Das sieht endlich auch nach der Umkehrfunktion aus Einziges Problem: es ist nur für $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray}$ definiert, das ist bei der Ursprungsgleichung nicht so. Ist ein Fehler in meiner Rechnung oder ist das einfach so? Vielen Dank schonmal an alle für eure Hilfe! MfG, hose
30.10.2011, 15:29	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir mal den Wertebereich deiner Ursprungsfunktion an

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