Umformung der Gleichung

04.01.2007, 19:35

mk7784

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Umformung der Gleichung

Könnt Ihr mir vielleicht helfen von folgendem Therm:

$\begin{eqnarray*} x = v0 * cos(\alpha) * \frac{2 * v0 * SIN(\alpha)}{2 * g} + \sqrt[2]{(\frac{-2 * v0 * SIN(\alpha)}{2 * g})^2 + \frac{2 * z_0}{g} } \end{eqnarray*}$

auf:

$\begin{eqnarray*} x_w = \frac{v_0^2 cos({\alpha})}{g}[ sin({\alpha}) + \sqrt{\frac{2z_o g}{v_0^2} + sin({\alpha})^2} ] \end{eqnarray*}$

zu bringen?

Wäre sehr sehr nett von euch!!

ACHTUNG!!! Die erste Formel ist falsch!!!

korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} x = v0 * cos(\alpha) * [ \frac{2 * v0 * SIN(\alpha)}{2 * g} + \sqrt[2]{(\frac{-2 * v0 * SIN(\alpha)}{2 * g})^2 + \frac{2 * z_0}{g} } ] \end{eqnarray*}$

04.01.2007, 20:15

mYthos

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Termumformungen, auch wenn sie - wie diese hier - relativ komplex sind, gehören jedoch zur Algebra der Schulmathematik. Dies hier stammt wohl aus der Physik ...

*verschoben*

mY+

04.01.2007, 22:36

mk7784

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aber hier kann mir sicher keiner weiterhelfen, oder? unglücklich

unglücklich

05.01.2007, 01:15

mYthos

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Wer sagt das? Wink

Wink

Da hast du sicher weitere Bedingungen unterschlagen, oder das Ganze ist schlicht und ergreifend falsch. So wie das hier steht, bezeichnen diese beiden Gleichungen keinesfalls das Gleiche.

1. Bei beiden Brüchen mit dem Nenner 2g ist durch 2 zu kürzen
2. x und x_w bezeichnen offenbar verschiedene Variablen
3. Der cos kann so NICHT vor die eckige Klammer geschrieben werden, denn aus der Wurzel wurde er nicht ausgeklammert
4. Ebenso wurde v_0 bzw. dessen Quadrat nicht richtig ausgeklammert
5. g aus der Wurzel falsch ausgeklammert

Die Probe mit v = 7,2, g = 10, alpha=0,8 (Bogenmaß),z=75 ergibt für x = 6,5 und für x_w = 22,19, also einen himmelhohen Unterschied.

mY+

05.01.2007, 17:33

mk7784

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Hab die Formel aus einem anderen Forum, ich poste dir mal den Link würde mich freuen wenn du mal drüber schauen könntest..

http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=249672

Jeder gute Hinweis bringt mich weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß

06.01.2007, 12:31

mk7784

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Sorry, hab da einen rießen Fehler beim eingeben gemacht unglücklich

unglücklich

Die richtige Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} x_w = v0 * cos(\alpha) * [ \frac{2 * v0 * SIN(\alpha)}{2 * g} + \sqrt[2]{(\frac{-2 * v0 * SIN(\alpha)}{2 * g})^2 + \frac{2 * z_0}{g} } ] \end{eqnarray*}$

komm ich von dieser auf:

$\begin{eqnarray*} x_w = \frac{v_0^2 cos({\alpha})}{g}[ sin({\alpha}) + \sqrt{\frac{2z_o g}{v_0^2} + sin({\alpha})^2} ] \end{eqnarray*}$

Die Formeln geben mir jetzt auch für deine gegebenen werte das gleiche Ergebnis smile

smile

Gruß

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06.01.2007, 13:42

zt

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Um gottes Willen, ich komme nicht auf das $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ im Zähler des Bruchs unter der Wurzel! Hammer

Hammer

Derive übrigens auch nicht.. verwirrt

verwirrt

06.01.2007, 13:59

mk7784

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aber die beiden Formeln müssten doch eigentlich, wenn sie das selbe Ergebnis ausgeben, auch aus der jeweiligen Formel herzuleiten sein, oder?

Könnt Ihr mir vielleicht helfen aus der ersten Formel eine Formel herzuleiten wie ich auf das ALPHA komme welches den Ausdruck maximal macht?

06.01.2007, 14:15

zt

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Schau mal bitte in meinen Anhang:

Ich habe deine Gleichung "Vorher-Modell" und "Nachher-Modell" gleichgesetzt und im "Nachher-Modell" das $\begin{eqnarray*} {v_0}^{2} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ersetzt. Dann müsste doch die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ augelöst genau $\begin{eqnarray*} Y={v_0}^2 \end{eqnarray*}$ ergeben, oder irre ich da? verwirrt

verwirrt

Edit: Verdammt geht doch.. aber nur mit mords Fallunterscheidungen, von denen ich nix verstehe..

06.01.2007, 15:04

mk7784

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Ich seh da nix von Anhang, wo find ich das?

06.01.2007, 15:07

zt

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Blödsinn im Anhang..

06.01.2007, 15:21

mk7784

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würde es die Sache erleichtern, dass g (immer 9,81), z0, und v0 konstanten sind? Ich blick da irgendwie nicht durch bei deinem Anhang :-(

06.01.2007, 15:23

zt

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Ich auch nicht. Deswegen hatte ich den Anhang gelöscht.

Ich werd' jetzt 'n bissel Sport machen und schaue mir das heute Abend nochmal an. Zu wann musst du das wissen?

06.01.2007, 15:29

mk7784

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Hab noch ne Woche Zeit dafür, würde es allerdings gern so schnell wie möglich wissen, da ich das ganze noch ausarbeiten muss, ist ja nur ein kleiner Teil von ganzen Brocken :-(

Würd mich freuen wenn dir später ein Licht aufgeht;-)

Wünsch dir viel Spaß beim Sport!!

06.01.2007, 16:21

zt

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Mhh.. mich holt irgendwie keiner ab verwirrt

verwirrt

... here we go..

Betrachten wir zunächst einfach nur mal die Wurzel..

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{v_0\cdot{\sin{\alpha}}}{g}\right)^2+\frac{2\cdot{z_0}}{g}} \end{eqnarray*}$

und multiplizieren unter der Wurzel aus..

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{v_0^2\cdot{\sin^2{\alpha}}+2\cdot{g}\cdot{z_0}}{g^2}} \end{eqnarray*}$

Unter der Wurzel wird jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{v_0^2}{g^2} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert..

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{v_0^2}{g^2}\cdot\left(\frac{v_0^2\cdot{\sin^2{\alpha}} +2\cdot{g} \cdot{z_0}}{v_0^2}\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{v_0^2}{g^2} \end{eqnarray*}$ können wir jetzt mit dem Wurzelgesetz $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot{b}}=\sqrt{a}\cdot{\sqrt{b}} \end{eqnarray*}$ ausklammern und erhalten..

$\begin{eqnarray*} \frac{v_0}{g}\cdot\sqrt{\frac{2\cdot{g} \cdot{z_0}}{v_0^2}+\sin^2{\alpha}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_0,g>0 \end{eqnarray*}$

Der Rest sollte klar sein..

06.01.2007, 17:59

mk7784

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SEHR SEHR COOL!! TAUSEND DANK!! smile

smile

Woher kannst du das so gut? Studierst du Mathe?

Sorry, wenn ich dich nerve, aber hast du dir mal die Lösung angeschaut von dem Link den ich in diesem Thread gepostet habe?

Kannst mir vielleicht erklären, wie die da vorgehen, nachdem sie die Substitution mit A gemacht haben? Ich komm da irgendwie nicht drauf unglücklich

unglücklich

Wärst ein Held Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß

06.01.2007, 21:04

mk7784

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Ich glaub ich hab es selbst verstanden smile

smile

aber nur bis zu einem gewissen Punkt unglücklich

unglücklich

kannst du mir sagen wie ich von

$\begin{eqnarray*} x_w(z)=\frac{v_0^2}{g} \cdot [\sqrt{(1-z) \cdot z} + \sqrt{(1-z)\cdot(A+z)}] \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \frac{dx_w(z)}{d\alpha} = \frac{1}{2} [\frac{1-2z}{\sqrt{(1-z)z}} + \frac{1-A-2z}{\sqrt{(1-z)(A+z)} }] =0 \end{eqnarray*}$

komme?

06.01.2007, 23:01

RS

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Das ganze untere ist ja die Ableitung der oberen (Ausgangsfunktion).

Also von einer Wurzel (z.b $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ) lautet die Ableitung ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ . Das wird auch hier angewendet.

Da die zu betrachtende Variable ja z ist, ist der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{v_0^2}{g} \end{eqnarray*}$ ja lediglich eine Konstante, entfällt also beim Ableiten (deshalb fehlt sie bei der Ableitung).

Nun müssen die Wurzelterme abgeleitet werden. Hierbei sind die Terme unter den Wurzeln jetzt mal als u bezeichnet (u=Term unter der Wurzel). Eine Wurzel leitest du folgender Maßen ab $\begin{eqnarray*} x(u)=\sqrt{u} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} x'(u)=\frac{u'}{2\cdot\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$ . Wenn man das jetzt hier anwendet (die Terme unter der Wurzel vorher ausmultiplizieren!) dann kommt folgendes für den ersten Term heraus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{z-z²} \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} \frac{1-2z}{2\cdot\sqrt{(1-z)z}} \end{eqnarray*}$ .

Beim zweiten Term kommt folgendes heraus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{A-Az+z-z²} \end{eqnarray*}$ wird unter Verwendung der obigen Formel zu $\begin{eqnarray*} \frac{-A+1-2z}{2\cdot\sqrt{(1-z)(A+z)}} \end{eqnarray*}$ .

Nun die Frage warum das 1/2 davor?
Das wurde aus den beiden entstandenen Termen ausgeklammert (deshalb fehlt die "2" in den gerade erechneten Termen)

Verstanden?

06.01.2007, 23:29

mk7784

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Gott

Ihr Seid die Besten!! TAUSEND DANK! Mit Zunge

Mit Zunge

Ja, so eine perfekte Erklärung kann man ja nur verstehen!!

DANKE! DANKE! DANKE!

Tanzen

Tanzen

06.01.2007, 23:31

RS

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kein Problem Wink

Wink

07.01.2007, 02:49

zt

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Zitat:

Original von mk7784
Woher kannst du das so gut? Studierst du Mathe?

Ich hab' mir dein Problem schon 2 Tage hintereinander angeschaut gehabt und keine Lösung gehabt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von mk7784
...hast du dir mal die Lösung angeschaut von dem Link den ich in diesem Thread gepostet habe?

Ja, aber über die Umformung steht da ja Null. Wenn ich dir zeigen woll, wie man die Umformung eigtl. sofort sieht (ohne groß rumzuraten), dann gib' Bescheid.

07.01.2007, 12:53

mk7784

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Wäre sehr cool wenn du mir einen besseren Weg zeigen könntest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kann den Weg aus dem anderen Forum zwar nachvollziehen, aber selbst drauf gekommen wäre ich da nie im Leben unglücklich

unglücklich

Vielen Dank im Vorraus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß

07.01.2007, 12:58

zt

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Ich rede nur von der Umformung. (nicht Ableitung)
Du auch?

07.01.2007, 14:27

mk7784

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Ja, hab ich auch gemeint, dachte dann is der ganze Weg anders..

Würde mich trotzdem freuen, wenn du mir den anderen Weg näher bringen könntest! Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2007, 16:42

zt

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Wusste nicht genau.

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