Binominalkoeffizient in Summe

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Timme Auf diesen Beitrag antworten »
Binominalkoeffizient in Summe
Meine Frage:
Ich habe zu beweisen, dass für alle gilt:


Meine Ideen:
Zum beweisen soll ich offensichtlich eine vollständige Induktion durchführen. Das Problem was ich dabei habe ist das n über dem k. Normalerweise würde ich für den Induktionsschritt ja versuchen auf folgende form zu kommen:



Nur geht das natürlich nicht, weil das n+1 über dem k stehen bleiben würde, also so:



Daher kann ich ja die Induktionsvoraussetzung noch nicht anwenden.

Hat jemand eine Idee wie ich den Term so umformen kann, dass ich mit der Induktionsvoraussetzung den Beweis beenden kann?

Vielen Dank schon einmal im Voraus für die Hilfe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominalkoeffizient in Summe
Nutze eine einschlägige Eigenschaft von Binomialkoeffizienten, nämlich:

Timme Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das bringt mich schon ein Stück weiter.

Ich hätte dann jetzt den Teil der Summe für n+1 rausgezogen und danach deine Regel benutzt, dann komme ich auf:



Da ich auch mal rückwärts angefangen habe zu rechnen weiss ich, dass



also fehlt mir doch nur noch die Lücke wo ich zeigen muss, dass:



Nur weiss ich leider nicht wie ich das machen kann..
Hat jemand da eine idee?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist .

Und jetzt mache auf die rechte Summe eine Indexverschiebung, so daß die Summe wieder mit k=0 beginnt.
chi Auf diesen Beitrag antworten »
Binominalkoeffizient in Summe
Wie du auf dies kommst, verstehe ich schon:

Aber wie kommst du auf den Rest. Ich hätte das hier stehen:
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominalkoeffizient in Summe
Es ist .
Mit der Indexverschiebung erhalten wir doch:
, oder nicht?
Wie hilft uns das aber weiter?
eDIT:
und somit:, oder nicht?
 
 
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominalkoeffizient in Summe
Somit hätten wir:

und weiter?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominalkoeffizient in Summe
Es ist

Aber leider bist du nicht Timme. geschockt
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominalkoeffizient in Summe
Es ist:
Und nun?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominalkoeffizient in Summe
Vielleicht ist dir irgendwo begegnet, daß ist. Augenzwinkern
chi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominalkoeffizient in Summe
Bewiesen hatten wir das noch nicht, ist mir aber schon ma begegnet (jetzt wo du es sagst).
Nehme mal an dass wir das verwenden dürfen
Thanks Prost
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du gewinnst das in einfacher Weise aus dem binomischen Lehrsatz



durch die Spezialisierung .

Schöner ist natürlich ein kombinatorisches Argument: gibt die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer -elementigen Menge an. Mit der Summe für bis wird also die Anzahl aller Teilmengen der -elementigen Menge berechnet. Andererseits "weiß man", daß diese Anzahl gerade ist.

Im übrigen könntest du auch einfach die Gleichung vom Anfang meines Beitrags nach differenzieren und dann einsetzen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominalkoeffizient in Summe
Eine weitere Alternative ist:



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