Unabhängigkeit von Indikatorvariablen

29.10.2011, 14:22

Gast11022013

Unabhängigkeit von Indikatorvariablen

Meine Frage:
Man beweise folgendes Korollar:

Eine Familie $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I},I\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ von Ereignissen ist genau dann unabhängig, wenn die zugehörige Familie $\begin{eqnarray*} (\chi_{A_i})_{i\in I} \end{eqnarray*}$ von Indikatorfunktionen unabhängig ist.

Ist mein Beweis okay?

Meine Ideen:
Erstmal ist ja jede Indikatorfunktion $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable:

$\begin{eqnarray*} \chi_A: (\Omega,\mathcal{F},P)\to \left(\left\{0,1\right\},\mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt:

1.) $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right)=\sigma\left(\left\{1\right\}\right) \end{eqnarray*}$

Das heißt, daß $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{1\right\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right) \end{eqnarray*}$ ist.

2.) $\begin{eqnarray*} \left\{\chi_A=1\right\}=A \end{eqnarray*}$

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ unabhängig, das heißt nach Definition:

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\prod_{i\in I}P(A_i) \end{eqnarray*}$

Daher gilt nach Definition der Unabhängigkeit einer Familie von Zufallsvariablen (da es reicht, die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen - d.h. hier der zugehörigen Indikatorfunktionen - für das Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ zu betrachten):

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap_{i\in I}\left\{\chi_{A_i}=1\right\}\right)=P(A_i)=\prod_{i\in I}P(A_i)=\prod_{i\in I}P(\chi_{A_i}=1) \end{eqnarray*}$ ,

wobei die letzten beiden Identitäten aufgrund der Voraussetzung und der obigen Überlegung folgen.

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} (\chi_{A_i})_{i\in I} \end{eqnarray*}$ unabhängig.

Dann gilt allgemein:

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap_{i\in I}\left\{\chi_{A_i}\in\mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right)\right\}\right)=\prod_{i\in I}P\left(\chi_{A_i}\in \mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right)\right) \end{eqnarray*}$

und insbesondere bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap_{i\in I}\left\{\chi_{A_i}=1\right\}\right)=\prod_{i\in I}P(\chi_{A_i}=1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(\underbrace{\left\{\chi_{A_i}=1\right\}}_{A_i}\right)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ sind unabhängige Ereignisse

$\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 23:33

Zündholz

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RE: Unabhängigkeit von Indikatorvariablen
Hallo,
Also hab mal drübergeschaut und es ich denke, dass das ok ist. Bis auf die kleine formale Unsauberkeit:

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap_{i\in I}\left\{\chi_{A_i}\in\mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right)\right\}\right) \end{eqnarray*}$

\chi bildet ja nicht in die Potenzmenge ab.
Was man vielleicht allgemein noch anmerken könnte: Wenn es sich um ein allgemeines (unter Umständen nicht endliches) I handelt, dann muss man sich (nach Definition) endliche nichtleere Teilmengen J von I ansehen.

Edit: Bei G musst du (was ich auch fast übersehen hätte) beachten, dass ein Erzeuger immer ein Mengensystem ist.

31.10.2011, 06:56

Gast11022013

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RE: Unabhängigkeit von Indikatorvariablen

Zitat:

Original von Zündholz
Edit: Bei G musst du (was ich auch fast übersehen hätte) beachten, dass ein Erzeuger immer ein Mengensystem ist.

Also hier $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{\left\{1\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ ?

31.10.2011, 10:20

Zündholz

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RE: Unabhängigkeit von Indikatorvariablen
Hätte ich so gesagt.

31.05.2013, 18:06

alex11234

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Da ich mich auch gerade mit dieser Aufgabe beschäftige, hole ich diesen Beitrag wieder heraus.
Ich habe nämlich 2 Fragen dazu:
Ist $\begin{eqnarray*} \{\{1\}\} \end{eqnarray*}$ wirklich ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} P(\{0,1\}) \end{eqnarray*}$ ?. Ist nicht eher $\begin{eqnarray*} \{\{0\},\{1\}\} \end{eqnarray*}$ hier Erzeuger? Dies macht ja auf Grund der Unabhängigkeit von Komplementärereignissen den Beweis zwar länger, aber fügt nichts wirklich "neues" hinzu.

Warum reicht es, die Unabhängigkeit für einen Erzeuger zu zeigen? Kann hier gleich argumentiert werden wie bei der Aussage, dass es bei der Messbarkeit einer Zufallsvariable reicht, diese für einen Erzeuger zu zeigen?

31.05.2013, 19:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von alex11234
Ist $\begin{eqnarray*} \{\{1\}\} \end{eqnarray*}$ wirklich ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} P(\{0,1\}) \end{eqnarray*}$ ?.

Ja, ist es: Es geht um die kleinste Sigma-Algebra, die den Erzeuger enthält. Zu den Sigma-Algebra-Eigenschaften gehört u.a., dass mit einer Menge auch deren Komplement enthalten ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{F} \;\Rightarrow\; \Omega\setminus A\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} \Omega = \{0,1\} \end{eqnarray*}$ , also erfordert $\begin{eqnarray*} A=\{1\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ nach dieser Eigenschaft dann auch

$\begin{eqnarray*} \Omega\setminus A = \{0\} \in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ,

es ist also unnötig (wenn auch nicht verkehrt), die Menge $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ mit ins Erzeugendensystem aufzunehmen.

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