Die Menge aller Funktionen (R->R) als Menge mit Richtung

29.10.2011, 15:46

dreikommadrei

Die Menge aller Funktionen (R->R) als Menge mit Richtung

Aufgabenstellung:
$\begin{eqnarray*} Sei ~ X:=\left\{f|f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \right\}, mit f \succ g \Leftrightarrow \forall x\in \mathbb R :f(x)\geq g(x) \end{eqnarray*}$
Zeigen oder wiederlegen sie:

a) $\begin{eqnarray*} (X, \succ ) \end{eqnarray*}$ ist eine Menge mit Richtung
b) je zwei Elemente von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind bzgl. $\begin{eqnarray*} \succ \end{eqnarray*}$ vergleichbar.

a) Hier ist die Transivität und Reichhaltigkeit von X zu zeigen.
Im Prinzip ist mir auch klar, dass beides gilt.

Um zunächst zunächst zu verdeutlichen, nehme ich mir 3 Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g,h\in X \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2, g(x)=x^2+1, h(x)=x^2+2 \end{eqnarray*}$

jetzt sind das natürlich nur recht einfache Beispiele aber es zeigt, dass g ein Nachfolger von f ist und h ein Nachfolger von g. Ins besondere ist nun auch h ein Nachfolger von f (da gilt $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R : h(x)\geq f(x) \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig könnte man das Spiel ja noch weiter führen und den Summand erhöhen.

Nur leider sind das ja nur beispiele und ich weiß nicht so recht, wie ich hier anfangen soll. Das Problem ist ja, dass die Menge aller Funktionen für mich schwer einzufangen ist. Als erstes fällt mir hier die Menge aller Polynomfunktionen ein, die hier ja identisch zu X ist. Oder? Aber das bringt mich ja nicht mal weiter.

Wie zeige ich also Transitivität und Reichhaltigkeit bei einer solchen Menge am besten und schnellsten?

zur b)
Hier ist im Prinzip schnell gezeigt, dass nicht (immer) zwei beliebige Elemente von X vergleichbar sind.

Sei $\begin{eqnarray*} a(x),b(x)\in X ~ und ~ a(x)=1, b(x)=x \end{eqnarray*}$ .

es zeigt sich, dass:
$\begin{eqnarray*} \forall x\leq 1:a(x)\geq b(x)\\ \forall x > 1:a(x)< b(x) \end{eqnarray*}$
damit wäre a(x) nicht vergleichbar mit b(x) und die Aussage wiederlegt.

29.10.2011, 23:26

dreikommadrei

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zu zeigen.

i) $\begin{eqnarray*} X \neq \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$
ii) Transitivitätä
iii) Reichhaltigkeit

zu 1)
f(x)=x ist Element von X -> X ist nicht die leere Menge

zu 2)
Sei $\begin{eqnarray*} f,g,h \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \succ g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \succ h \end{eqnarray*}$
Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in mathbb R: f(x) \geq g(x) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} g(x) \geq h(x) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f(x) \geq g(x) \geq h(x) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} f(x) \geq h(x) \Leftrightarrow f \succ h \end{eqnarray*}$

zu 3)
Sei $\begin{eqnarray*} f,g,h \in X \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} h(x)=f(x) \forall x \in \mathbb R : f(x) \geq g(x) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} h(x)=g(x) \forall x\in \mathbb R :g(x)>f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow h(x)\geq f(x)\forall x\in \mathbb R \wedge h(x)\geq g(x)\forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow h\succ f \wedge h\succ g \end{eqnarray*}$

richtig?

30.10.2011, 10:14

Leopold

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1) und 2) stimmen. Du solltest bei 2) allerdings den Quantor "für alle" auch an allen Stellen, wo er hingehört, anführen, nicht nur einmal.

Zu 3) kann ich nicht viel sagen, da mir der Begriff der Reichhaltigkeit unbekannt ist. Allerdings finde ich die Bedingung " $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " merkwürdig, denn sie würde ja $\begin{eqnarray*} h=f \end{eqnarray*}$ zum Ausdruck bringen. verwirrt

30.10.2011, 12:50

dreikommadrei

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Zitat:

Original von Leopold
1) und 2) stimmen. Du solltest bei 2) allerdings den Quantor "für alle" auch an allen Stellen, wo er hingehört, anführen, nicht nur einmal.

Zu 3) kann ich nicht viel sagen, da mir der Begriff der Reichhaltigkeit unbekannt ist. Allerdings finde ich die Bedingung " $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " merkwürdig, denn sie würde ja $\begin{eqnarray*} h=f \end{eqnarray*}$ zum Ausdruck bringen. verwirrt

" $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ "
soll eigentlich heißen:

h(x)=f(x) für alle x für die gilt f(x)>=g(x)
für alle anderen h(x) gilt, dass sie gleich g(x) sind...

30.10.2011, 12:56

Leopold

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Bitte gib die Definition von Reichhaltigkeit an, und zwar für eine beliebige gerichtete Menge $\begin{eqnarray*} (X,\succ) \end{eqnarray*}$ . Was du im konkreten Fall dazu schreibst, ist für mich voller Rätsel.

30.10.2011, 13:12

dreikommadrei

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Zu $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$ nit $\begin{eqnarray*} z \succ x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \succ y \end{eqnarray*}$

hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Gerichtete_Menge als E3 benannt

und meine Aussage sollte soviel bedeuten wie, wenn ich 2 funktionen f und g habe, dann soll meine Funktion h(x) immer den Wert f(x) oder g(x) nehmen, der höher ist als der andere...

30.10.2011, 13:32

Leopold

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Dann mußt du das auch so schreiben. Bitte deutsche Sätze schreiben, auch und gerade in Mathematik. Bloße Formeln ohne sinnvolle Verbindungen ergeben noch keinen Sinn.

$\begin{eqnarray*} f,g \in X \end{eqnarray*}$ seien gegeben. Zu bestimmen ist ein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h \succ f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \succ g \end{eqnarray*}$ .

Deine Idee, $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, ist richtig. Schreibe das so:

Definiere $\begin{eqnarray*} h \in X \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{falls} \ \ f(x) \geq g(x) \\ g(x) & \text{falls} \ \ f(x) < g(x) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann gilt offenbar $\begin{eqnarray*} h \succ f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \succ g \end{eqnarray*}$ .

Diese Definition ist übrigens das sogenannte Maximum der beiden Funktion $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ . Wenn die Bezeichnung aus der Vorlesung schon bekannt ist, kannst du kürzer schreiben:

Definiere $\begin{eqnarray*} h \in X \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} h = \max \{ f,g \} \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 13:40

dreikommadrei

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noch nicht bekannt aber interessant zu wissen.

Mit der Fallunterscheidung sieht das so aufgeschrieben tatsächlich besser aus. Danke!
Mir fehlen häufig noch die Softskills um Beweise schön zu schreiben. Ich arbeite dran smile

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