Areasin und Areacos

04.01.2007, 19:42	Brauni86	Auf diesen Beitrag antworten »
Areasin und Areacos Hallo, ich habe gerade die Beweise zu folgenden Formeln erbracht: $\begin{eqnarray} arcos(x)=ln(x+\sqrt{x^{2}-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> arsin(x)=ln(x+\sqrt{x^{2}+1}) \end{eqnarray}$ Ich habe es so bewiesen, dass ich arsin(x)=a setze, dann nach x auflöse und anschließend für sinh(a), die Formel verwende mit der e-Funktion. Dann bekommt man ja ne e-Funktion 2.Grades und substituiert, nimmt die Lösungsformel und schon steht es da. Allerdings bekomme ich doch mit Hilfe der Lösungsformel zwei Lösungen eine mit + und eine mit -. Ich frage mich gerade warum die mit - nicht bei der arcos Funktion benutzt werden kann! Bei arsin ist mir das klar, sonst wird ja das Argument des ln negativ. Aber dies kann ja bei der arcos-Formel nicht passieren. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Arsin ist für ganz R definiert die arcos nur für x>1. VielenDAnk
04.01.2007, 20:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Areasin und Areacos [Edit:] Was vorher da stand, bezog sich nicht auf den cosh! Eine Überlegung zeigt, dass bei Umkehrung von cosh das Argument größer als 1 sein muss. Wie dann unten von Leopold gezeigt, besteht die Umkehrfunktion, also der arcosh aus den zwei Teilfunktionen, die sich durch die beiden Vorzeichen der Lösungen der quadr. Gleichung ergeben: $\begin{eqnarray} f_1 = \ln (x + \sqrt{x^{2}-1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2 = \ln (x - \sqrt{x^{2}-1}) \end{eqnarray}$ mY+ DAS ist jedoch kein Hochschulstoff, deshalb *verschoben*
04.01.2007, 20:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bekommst beim Umkehren von $\begin{eqnarray} x \mapsto \cosh{x} \end{eqnarray}$ in der Tat zwei Lösungen. Das ist aber auch nicht weiter verwunderlich, denn das Schaubild zeigt sofort, daß die Funktion nicht global umkehrbar ist. Um sie umzukehren, muß man sie auf geeignete Intervalle einschränken. Das sind hier $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (-\infty,0] \end{eqnarray}$ . Die Umkehrfunktion bezüglich des ersten Intervalls nennt man $\begin{eqnarray} \operatorname{arcosh} \end{eqnarray}$ . Die Umkehrfunktion bezüglich des zweiten Intervalls (das, worauf dich dein Minuszeichen führt) hat im Reellen keinen besonderen Namen. Das braucht sie auch nicht, denn es ist leicht zu sehen, daß sie gerade $\begin{eqnarray} - \operatorname{arcosh} \end{eqnarray}$ ist (vgl. das analoge Phänomen beim Umkehren von $\begin{eqnarray} x \mapsto x^2 \end{eqnarray}$ ).

1

Verwandte Themen