[Vol.Induktion] Beweis einer Beziehung

29.10.2011, 16:16

xPegasusx

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[Vol.Induktion] Beweis einer Beziehung

Hi,

ich mache gerade ein paar Übungen und kann eine Aufgabe nicht lösen.
Vlt. könnt ihr mir ein paar Denkanstöße/Tipps geben.
Vorne weg ich hab noch nicht sehr viele Vollständige Induktionen durchgeführt, ich bin quasi noch am Anfang.

Das ist die Aufgabe: Zeigen Sie, das für jedes n € N folgende Beziehung gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n v^{2} = \frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Verankerung mit n=1 habe ich durchgeführt, Behauptung und Ziel formuliert.

Jetzt mein Schluss:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} v^{2} = \sum\limits_{k=1}^n v^2 + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4}n^2(n^2+2n+1)+n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^2 +n^2 +2n +1 \end{eqnarray*}$

Weiter bin ich bis jetzt nicht gekommen. Ich bin jetzt auch mal hergegangen und hab das Ziel weiter ausformuliert um möglicherweise früher drauf schließen zu können(hab erst mal allg. hingeschrieben und dann nur noch die rechte Seite behandelt, da ja die von Interesse ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} v^2 = \frac{1}{4}(n+1)^2*(n+2)^2 \end{eqnarray*}$
Wenn ich dann die Klammern multiplitizere und auflöse erhalte ich folgendes(rechter Teil)
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4}n^4 + \frac{3}{2}n^3 + \frac{11}{4}n^2 + 2n + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Hoffe jemand kann mir weiterhelfen!
Danke schon mal.

29.10.2011, 17:15

Math1986

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RE: [Vol.Induktion] Beweis einer Beziehung

Zitat:

Original von xPegasusx
Das ist die Aufgabe: Zeigen Sie, das für jedes n € N folgende Beziehung gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n v^{2} = \frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Weshalb nimmst du einmal k und einmal v als Laufindex?

Meinst du diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
Wenn ja, dann rechne diese mal für n=3 durch.

Ich kann mir nur vorstellen, dass Folgendes gemeint ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

29.10.2011, 17:27

xPegasusx

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Bei uns ist der Laufindex v, hab aber das k dawohl übersehen.
Kann ich leider nicht editiieren.
Daher k = v Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meinst du meine Verankerung mit n=1 ist schon der falsche Ansatz?
Ich kann mir gerade nicht vorstellen wie du darauf kommst, was du vorschlägst was gemeint ist.

29.10.2011, 18:05

HTCC1987

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So wie ich das sehe, hast du bei deinem Induktionsschluss bisher erstmal nur die linke seite betrachtet, mach es dir einfacher in dem du dein $\begin{eqnarray*} (n+2)^2 \end{eqnarray*}$ auf einen Nenner bringst wie den Rest der Gleichung.

29.10.2011, 18:12

Math1986

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Hat einer von euch die gegebene Gleichung mal für n=3 durchgerechnet?
Wenn ja: Ist euch dabei was aufgefallen? geschockt

geschockt

Wie ich darauf komme werdet ihr dann schon merken wenn ihr es gemacht habt.

29.10.2011, 18:15

HTCC1987

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ja gut hast recht ,hatte nicht mit 3 gerechnet ist einleuchtend Hammer

Hammer

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29.10.2011, 18:57

xPegasusx

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ok ich sehe was du meinst, die linke Seite ergibt 14 und die rechte 36.
Was heißt das jetzt im Umkehrschluss?
Die Aufgabe war:
Zeigen Sie, daß für jedes n € N folgende Beziehung gilt

Heißt das die Beziehung ungültig ist?
Dachte die Aufgabe zielt nur darauf dass es gültig ist und wir V.I machen müssen(so hatte ich das auch vom Dozenten verstanden)

edit:
Oben hatte ich die Erläuterung etwas ausgelassen.
Erst mal habe ich in die summe n+1 eingesetzt, dann hab ich die Summe mit n dargestellt und das letzte Element(n+1) separiert.
Die Summe habe ich jetzt durch die aus der Behauptung bekannte rechte Seite ersetzt.
Dadurch muss ich nur noch die rechte Seite auf das Ziel bringen und der Beweis ist erbracht.
Weil dann ja die Summe mit n+1 gleich dem rechten Seite ist.

29.10.2011, 19:05

Math1986

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Zitat:

Original von xPegasusx
ok ich sehe was du meinst, die linke Seite ergibt 14 und die rechte 36.
Was heißt das jetzt im Umkehrschluss?
Die Aufgabe war:
Zeigen Sie, daß für jedes n € N folgende Beziehung gilt

Heißt das die Beziehung ungültig ist?
Dachte die Aufgabe zielt nur darauf dass es gültig ist und wir V.I machen müssen(so hatte ich das auch vom Dozenten verstanden)

Richtig, die Beziehung ist ungültig, der Beweis erübrigt sich daher.

Die einzige Gleichung, die ich in diesem Zusammenhang kenne, ist die,, die ich oben hingeschrieben habe.

BTW Deine Umformungen als solche sind korrekt, dass du es nicht beweisen konntest liegt daran, dass die Aussage falsch ist, nicht an dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2011, 19:08

René Gruber

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Kleine Änderung mit großer Wirkung...
Vermutlich meint der Aufgabensteller

Zitat:

Zeigen Sie, das für jedes n € N folgende Beziehung gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{3} = \frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

smile

EDIT: Summand an Index angepasst - Danke an Math1986.

29.10.2011, 19:10

Math1986

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RE: Kleine Änderung mit großer Wirkung...

Zitat:

Original von René Gruber
Vermutlich meint der Aufgabensteller

Zitat:

Zeigen Sie, das für jedes n € N folgende Beziehung gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n v^{3} = \frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

smile

Das kann natürlich auch sein, ich dachte eher an die Gleichung von oben.

PS: Den Fehler mit den verschiedenen Laufindizes hast du wohl mitkopiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2011, 19:11

René Gruber

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Ja, hab ich - werde es gleich korrigieren. Big Laugh

Big Laugh

29.10.2011, 19:37

xPegasusx

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Danke

Augenzwinkern

Aufjedenfall hab ich jetzt gelernt, das ich im Zweifelsfall solche Fälle mal weiter durchspielen sollte.

30.10.2011, 10:41

xPegasusx

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Ich hab mich jetzt noch mal hingesetzt und das ganze für v^3 durchprobiert.
Wollte ein bisschen üben.

Zunächst die Verankerung geht bei n=1 und auch bei höheren.

Ich hab das ganze jetzt soweit ausgeklammert und aus multipliziert und komme auch auf keinen grünen Zweig.

Zunächst gleicher Anfang nur das v(bzw. k) hoch 3 und nicht hoch 2 ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v=1}^{n+1} v^3 = \sum\limits_{v=1}^{n} v^3 + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$
Jetzt ersetze ich auf der rechten Seite die Summen-Beziehung durch 1/4n^3...

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2 + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} n^2(n^2+2n+1) + n^3+3n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} n^4 + \frac{3}{2}n^3 + \frac{13}{4}n^2 +3n +1 \end{eqnarray*}$

Da finde ich keinen weiteren Ansastz.
Wie man ja oben sieht hatte ich das Ziel ausformuliert(im 1.Post) und finde da keine Äquivalenz.

30.10.2011, 11:25

Math1986

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Tipp:

Zitat:

Original von xPegasusx
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2 + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left(\frac{1}{4} n^2+n+1\right)\cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 13:48

xPegasusx

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+(n+1)^3 aber noch oder?
Werds gleich mal durchrechnen.

Also entweder ich raff nicht wie ich die vordere Klammer richtigauflösen soll mit Multilipkation von 1/4n^2 oder ich übersehe was...

Ich hab jetzt statt 13/4n^2 21/4 und statt +1 +2 am Ende.
Mehr hat sich nicht geändert.

30.10.2011, 14:05

Math1986

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Zitat:

Original von xPegasusx
+(n+1)^3 aber noch oder?
Werds gleich mal durchrechnen.

Also entweder ich raff nicht wie ich die vordere Klammer richtigauflösen soll mit Multilipkation von 1/4n^2 oder ich übersehe was...

Du übersiehst was.

Nochmal ausführlicher:

Zitat:

Original von Math1986
Tipp:

Zitat:

Original von xPegasusx
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2 + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} n^2\cdot \left(n+1\right)^2 +(n+1)\cdot\left(n+1\right)^2= \left(\frac{1}{4} n^2+(n+1)\right)\cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Ich habe einfach nur $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert.

PS: Wenn du in deiner vorherigen Rechnung einen Fehler gefunden hast dann editiere doch den Beitrag entsprechend!

31.10.2011, 09:41

xPegasusx

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Okay ich habs verstanden, weil da keine Klammern waren(müssen wahrscheinlich auch nicht hin) habe ich es erst nicht gesehen.
Werde es gleich nachher probieren.

31.10.2011, 17:42

xPegasusx

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Okay ich hab jetzt das mal damit probiert, dann die Klammer aufgelöst und komme zum selben Ergebnis wie vorher.
Bin also aus meiner Sicht leider keinen Schritt weiter gekommen.
Noch ist nichts bewiesen^^

02.11.2011, 20:46

xPegasusx

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Kann geschlossen werden, bin noch selbst drauf gekommen!
Habs erst mal ausmultipliziert(nur grob) und dann sieht man ja schon fast das Ergebnis, wenn man das Ziel dementsprechend ausgeschrieben hatte.

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