Gedankliche Verbindung zwischen den Themen "Vektorräume" und "Basis&Dimension"

Neue Frage »

Maximan Auf diesen Beitrag antworten »
Gedankliche Verbindung zwischen den Themen "Vektorräume" und "Basis&Dimension"
Hallo,
mir fehlt zur Zeit die Verbindung zwischen den beiden Themen „Vektorräume“ und „Basis & Dimension“.

Während des Themas „Vektorräume“ haben wir z.B. herausfinden müssen, ob folgendes ein Vektorraum ist:

V ist hier ein Vektorraum.
Wäre dieser Vektorraum dann einfach ein 1-dimensionaler Unterraum des ?


Während des Themas „Basis & Dimension“ mussten wir (wer hät’s gedacht) Basis und Dimension für z.B. folgende Gleichung bestimmen:


Die Lösungsmenge ist hier
Sie ist ein 1-dimensionaler Unterraum des
Könnte ich dann einfach ganz normal ausprobieren, ob eine Addition von 2 Vektor der Lösungsmenge für r=1 und für r=2 einer Ergebnis liefert, das in diesem Vektorraum liegt? Test auf Nullvektor für r=0 (denn sonst würde der Nullvektor ja nicht in der Lösungsmenge drin sein und somit kein Vektorraum sein)?

Ein anderes Beispiel:


Die Lösungsmenge ist hier
Sie ist ein 3-dimensionaler Unterraum des
Muss ich hier noch beweisen, dass die 3 Basen linear unabhängig sind?
Und wie würde ich hier testen, ob die Lösungsmenge ein Vektorraum ist?

Ich bin für jede Hilfestellung dankbar.
LG Maximan
mnt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gedankliche Verbindung zwischen den Themen "Vektorräume" und "Basis&Dimension"
Zitat:
Original von Maximan
Hallo,
mir fehlt zur Zeit die Verbindung zwischen den beiden Themen „Vektorräume“ und „Basis & Dimension“.

Während des Themas „Vektorräume“ haben wir z.B. herausfinden müssen, ob folgendes ein Vektorraum ist:

V ist hier ein Vektorraum.
Wäre dieser Vektorraum dann einfach ein 1-dimensionaler Unterraum des ?

Ja.

Zitat:

Während des Themas „Basis & Dimension“ mussten wir (wer hät’s gedacht) Basis und Dimension für z.B. folgende Gleichung bestimmen:


Die Lösungsmenge ist hier
Sie ist ein 1-dimensionaler Unterraum des
Könnte ich dann einfach ganz normal ausprobieren, ob eine Addition von 2 Vektor der Lösungsmenge für r=1 und für r=2 einer Ergebnis liefert, das in diesem Vektorraum liegt? Test auf Nullvektor für r=0 (denn sonst würde der Nullvektor ja nicht in der Lösungsmenge drin sein und somit kein Vektorraum sein)?

Du möchtest zeigen, dass das ein VR ist?
Dazu musste du die Unterraum-Axiome nachrechnen: Also auch die skalare Multiplikation.
http://de.wikipedia.org/wiki/Unterraum

Zitat:

Ein anderes Beispiel:


Die Lösungsmenge ist hier
Sie ist ein 3-dimensionaler Unterraum des
Muss ich hier noch beweisen, dass die 3 Basen linear unabhängig sind?

Die Unabhängigkeit sieht man direkt, da die Vektoren an mind. einer Stelle eine 1 haben, wo beide anderen eine 0 haben.
Wären sie nicht unabhängig, z.B. r(-1/0/0/-1/0)+s(-1/0/0/-1/0)+t(0/-1/0/0/1), dann könnte man s und r mit einer Variablen beschreiben (s ist also unnötig) und somit wäre die Dimension nur 2.

Zitat:

Und wie würde ich hier testen, ob die Lösungsmenge ein Vektorraum ist?

Axiome nachrechnen...
Wenn du dazu Fragen hast, dann muss aber erst eine Idee her. Big Laugh
Maximan Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort!
So weit sind wir im Unterricht noch nicht...falls man im LK überhaupt so weit geht.
Es hat jedefalls gezeigt, dass ich das für die nächste Klausur (noch) nicht brache.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »