Ungleichung einer Summenformel

29.10.2011, 18:27	mapsto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung einer Summenformel Hi ich sitze gerade an meinem Hauptseminar und habe Probleme mit dem letzten Beweis, in dem ich den Stetigkeitssatz bei Erzeugendenfunktionen beweisen möchte. Mein Problem ist eine Ungleichung, mit der ich zeigen würde, das $\begin{eqnarray} A_{n}(s)\xrightarrow{n\to\infty}A(s) \end{eqnarray}$ gilt. Die Ungleichung ist : $\begin{eqnarray} \vert \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k,n}s^k-\sum\limits_{k=0}^\infty a_ks^k\vert\leq \sum\limits_{k=0}^r\vert a_{k,n}-a_k\vert s^k+2\cdot\varepsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ist beliebig aber fest und r ist so gewählt, das $\begin{eqnarray} \frac{s^r}{1-s}<\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt. Außerdem ist 0<s<1 , $\begin{eqnarray} a_{k,n}\geq 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k,n}=1 \end{eqnarray}$ und es gilt : $\begin{eqnarray} a_{k,n}\xrightarrow{n\to\infty}a_k \end{eqnarray}$ Wenn ihr irgendwelche Tips habt, wie ich hier gut abschätzen kann oder ähnliches um von der linken auf die rechte Seite zu kommen währ ich euch sehr dankbar, wenn ihr sie mir mitteilt. Danke!
30.10.2011, 13:23	mapsto	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ersten schritte sind ja noch ganz leicht bis man zu $\begin{eqnarray} \vert \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k,n}s^k-\sum\limits_{k=0}^\infty a_ks^k\vert\leq \sum\limits_{k=0}^r\vert a_{k,n}-a_k\vert s^k + \sum\limits_{k=r+1}^\infty\vert a_{k,n}-a_k\vert s^k \end{eqnarray}$ kommt. Aber wie zeige ich jetzt, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=r+1}^\infty\vert a_{k,n}-a_k\vert s^k \leq 2\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt, oder liege ich schon bis hier hin falsch?

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