Induktion, Ungleichung

29.10.2011, 18:38

Pfirsichtee

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Induktion, Ungleichung

Hallo, ich hänge gerade an folgender Aufgabe :

Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl , so dass $\begin{eqnarray*} 2^n > n^3 \end{eqnarray*}$ gilt. Beweisen Sie ihre Behauptung.

Also meine Behauptung ist, dass diese Ungleichung ab n = 10 gilt. Nun versuche ich diese Behauptung indktiv zu beweisen.

I.Anfang : n = 10

$\begin{eqnarray*} 1024 = 2^{10} > 10^3 = 1000 \end{eqnarray*}$

I.Schritt :

Zu Zeigen ist nun :

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > (n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^n > n^3 + 3n^2 + 3n +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^n + ( 2^n ) > n^3 + ( 3n^2 + 3n + 1 ) \end{eqnarray*}$

Also ich sehe ja, dass ich hier nach Induktionsvorraussetzung nur noch zeigen muss, dass für n größer gleich 10 gilt :

$\begin{eqnarray*} 2^n > 3n^2 + 3n + 1 \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich versuche das zu zeigen, muss ich ja wieder Induktion anwenden und komme wärend diser zweiten Induktion dazu, dass ich sogar nochmals eine weitere Ungleichung mit einer dritten Induktion beweisen muss. Das kommt mir etwas seltsam vor. Gibt es da nicht einen eleganteren Lösungsweg oder übersehe ich da was Offensichtliches? O_O

29.10.2011, 18:44

René Gruber

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Zitat:

Original von Pfirsichtee
Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl , so dass $\begin{eqnarray*} 2^n > n^3 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich kann mir kaum vorstellen, dass das der Wortlaut der Aufgabe ist, denn dann müsste die Antwort lauten

a) n=0, falls bei euch 0 zu den natürlichen Zahlen zählt.

oder

b) n=1, falls bei euch 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zählt.

29.10.2011, 18:47

Pfirsichtee

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Ja du hast natürlich Recht, war nur zu faul ums genau aufzuschreiben. xD Sry traurig

traurig

Also hier der genaue Wortlaut :

Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl N, so dass $\begin{eqnarray*} 2^n > n^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie ihre Behauptung.

29.10.2011, 18:49

René Gruber

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Zitat:

Original von Pfirsichtee
Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl N, so dass $\begin{eqnarray*} 2^n > n^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ .

Und schon ergibt sich ein völlig anderer Sachverhalt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2011, 18:50

Helferlein

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Wenn Du die Induktionsvoraussetzung bei $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n \end{eqnarray*}$ direkt einsetzt, wird es leichter.

29.10.2011, 18:55

Pfirsichtee

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Also das hier? :

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^3 > (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

Muss ich nicht dann trotzdem noch die rechte Ungleichung beweisen? Zu genau dieser komme ich ja dan wieder.

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29.10.2011, 23:12

Helferlein

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Bei genauerer Betrachtung ist das vielleicht doch keine so gut Idee, da $\begin{eqnarray*} 2n³<(n+1)³ \end{eqnarray*}$ für n>2.

In der Aufgabe ist allerdings auch nirgends erwähnt, dass Du es mit Induktion beweisen sollst. Hast Du es schonmal direkt versucht?
Beispielsweise über den binomischen Lehrsatz?

$\begin{eqnarray*} 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk \end{eqnarray*}$

29.10.2011, 23:15

Pfirsichtee

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Schon wieder bin satz? xD
Bei fast jeder Aufgabe hier kommt es vor aber ich komme nie von selbst auf die Idee damit anzufangen. Manmanman X_X

Ich meld mich ^^

30.10.2011, 12:49

Helferlein

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Zitat:

Original von Helferlein
Bei genauerer Betrachtung ist das vielleicht doch keine so gut Idee, da $\begin{eqnarray*} 2n³<(n+1)³ \end{eqnarray*}$ für n>2.

Ich weiss nicht, was mich da gestern zu dieser Aussage verleitet hat, aber sie ist falsch.
Natürlich ist $\begin{eqnarray*} 2n³>(n+1)³ \end{eqnarray*}$ für n>4 (wie man auch durch einfaches Plotten erkennen kann).
Sorry für die Verwirrung.

30.10.2011, 15:18

Yuri

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@Pfirsichtee Ich glaube du kommst von der selben Uni wie ich, zumindestens haben wir die gleichen Aufgaben :-)

Ich bin durch zufall hier in dieses Forum geraten, und frage mich grade ob ich überhaupt alles richtig gemacht habe.

Kann man diese Aufgaben garnicht mit Induktion lösen geschockt

geschockt

Das habe ich nämlich bei jeder gemacht. Es kam mir allerdings schon bei Aufgabe 4b) etwas komisch vor.

Hast du alle Aufgaben mit dem Bionomischen Lehrsatz gelöst, ich weiss nichtmal was das ist. Das haben wir auch in der Vorlesung garnicht behandelt. verwirrt

verwirrt

Irgendwie bin ich grade total verunsichert...

Das würde für mich bedeuten, dass ich alle Aufgaben nochmal lösen dürfte traurig

traurig

30.10.2011, 19:52

Pfirsichtee

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Hey , sry das ich erst so spät antworte.

Danke für die Hilfe Helferlein.

Und Yuri, nein ich habe nicht alle damit gelöst. Teils teils, bei manchen hat es sich angeboten und bei anderen war eine Induktion doch der sehr leichte Weg.

Den binomischen Lehrsatz findest du bei Wikipedia und auch sonst wo auch immer du willst. Wenn du bei einer speziellen Aufgabe Probleme hast kannst du mir ja bescheid sagen, habe alle gelöst. Acuh wenn es natürlich jetzt am Abend etwas spät ist, da wir ja schon morgen abgeben müssen. Big Laugh

Big Laugh

30.10.2011, 21:52

Yuri

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Naja, ich habe die auch sogut wie alle fertig (aber keine Ahnung ob die so richtig sind).

Nur Aufgabe 4b) kommt mir komisch vor (ich habe es mit Induktion gemacht), und 4c) habe ich garnicht erst hinbekommen.

30.10.2011, 22:36

Pfirsichtee

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Also bezüglich dieser beiden Aufgaben kann ich dich nur auf meinen anderen Thread aufmerksam machen :Induktion , Binomialkoeffizient

Offensichtlich geht es da um 4 c)

Bei 4b) sollst du ja beweisen :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt sieh dir genau den selben Thread nochmal durch. Innerhalb der Lösung zu 4c) findest du auch den Beweis zu 4b).

Auch dieser Beweis geht über den binomischen Lehrsatz. Der Beweis geht auf meiner Zeile über nur eine einzige Zeile. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Solltest du es nicht verstehen so sag bescheid, ich guck auch wieder hier rein. ^^

30.10.2011, 22:40

Yuri

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Okay danke, kann man das den nur mit dem Binomischen Lehrsatz lösen, oder ist auch eine Iduktion denkbar ?

30.10.2011, 22:42

Pfirsichtee

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Denkbar bestimmt, aber ic habe es nicht mit Induktion hinbekommen, da würdest du dann einen andere Helferli aus diesem Forum brauchen. ^^

30.10.2011, 22:45

Yuri

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Hm, die Binomische Lehrsatz sieht auf den ersten Blick schon ziemlich komplex aus. geschockt

geschockt

Der erste teil sieht ja noch verständlich aus, aber wie kommt man bitteschön auf die Summe ?

30.10.2011, 22:48

Pfirsichtee

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Eigentlich ist sie sehr süß ^^

Wenn dich die Herleitung interessiert, kann ich dich nur auf das Skript aufmerksam machen, welches unser Prof ja freundlicherweise in einer sehr schönen Latex-Form online gestellt hat. Du findest den Beweis zu dieser Fotrmel ( auch über Induktion ) auf Seite 25.

Bzw ist im Skript der Beweis der Richtigkeit und auf Wiki findest du eine schöne Herleitung...

30.10.2011, 22:49

Helferlein

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Ich unterbreche Euch ja ungern, aber das hat nichts mehr mit der Aufgabe zu tun.
Bitte klärt das weitere per PM, ok?

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