Formel umstellen

29.10.2011, 19:17

Dolian

Formel umstellen

Meine Frage:
Hallo, ich hätte da eine Formel aus der Übung die ich nicht so recht umzustellen verstehe.

Leider habe ich trotz mehrerer Versuche auf einem Schmierzettel keinen blassen Schimmer, wie das gehen soll.
Könnte ja auch sein, dass ich mir das nicht richtig aufgeschrieben habe, wenn mir keiner helfen kann, gebe ich mal die komplette Tafelmitschrift zu diesem Aufgabenteil mit an.
Nur zur Info, es handelt sich nicht um Bonusaufgaben etc. trotzdem wäre es mir eine sanfte Geburtshilfe lieber als ein Kaiserschnitt. Augenzwinkern

Danke

Meine Ideen:
Es handelt sich um eine nach gegebenen Variablen umgestellte Wurfparabel.
$\begin{eqnarray*} v_{1}^{2} = \frac{g * L^{2}}{tanß * L * 2 * cos^{2}ß} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} tanß = \frac{sinß}{cosß} \Rightarrow v_{1}^{2} = \frac{g * L^{2}}{2 * sinß * cosß * L + 2 * cos^{2}ß * L} \end{eqnarray*}$

29.10.2011, 19:22

Equester

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Wie kommst du auf den zweiten Summanden im Nenner verwirrt

.
Ohne diesen stimmt die Sache.
Vllt beim Abschreiben in der Zeile verrutscht?

29.10.2011, 19:44

Dolian

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Hier OP
Naja, im Rechenbeispiel hinterher ist die Summe unten mit drin. Hiermal die gesamte Tafelmitschrift von der Herleitung. Kann auch den Teil mit eingesetzten Werten und Ergebnis hinzufügen.
Aber auch wenn ich einen Summanden weglasse, käme ich nicht auf das Ergebnis. Leider fällt am Diensttag die Übung wegen Feiertag aus und ich habe keine Möglichkeit mich bis Mittwoch anderweitig um Hilfe zu bemühen.

Umstellen nach v_1(x)
$\begin{eqnarray*} v_{1}^{2}(x) = \frac{g * L^{2}}{Y_{0} + tanß * X * 2 * cos^{2}ß} Y_{0} = 0, X = L \Rightarrow v_{1}^{2}(x) = \frac{g * L^{2}}{tanß * L * 2 * cos^{2}ß} tanß = \frac{sinß}{cosß} \Rightarrow v_{1}^{2}(x) = \frac{g * L^{2}}{2 * sinß * cosß * L + 2 * cos^{2}ß * L} sin(2 * ß) = 2 * sinß * cosß \Rightarrow v_{1}^{2}(x) = \frac{g * L^{2}}{sin(2 * ß) * L + 2 * cos^{2}ß * L} \end{eqnarray*}$

29.10.2011, 20:29

Equester

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Also ich komm weiterhin auf die Umformung auf die du kommst...ohne zweiten Summanden :P

Der letzte Schritt stimmt wieder, aber zweite auf dritte Zeile verwirrt

, sry.

29.10.2011, 20:42

Dolian

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Das kann gut sein, da ich immer nur schnell mitschreibe, um von den Erläuterungen was mitnehmen zu können.
Sitze noch in der Unibibliothek und versuche das mal vor dem Schlafengehen zu durchdenken. Die machen hier leider um 21:00 dicht und ich bin schon ziemlich fertig.

Danke erstmal und bis später oder morgen. Wink

29.10.2011, 20:49

Equester

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Ich hab nochmals jmd gebeten drüber zusehen Augenzwinkern

Also schau nochmals rein.

Viel Spaß noch
Wink

29.10.2011, 20:57

René Gruber

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Vielleicht lässt sich die Sache ja klären, wenn man die inhaltliche physikalische Bedeutung der Symbole kennt:

Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ der Abwurfwinkel ist, und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Wurfweite (d.h., wenn der Wurfgegenstand wieder die Anfangshöhe erreicht - alles natürlich ohne Luftwiderstand)?

In dem Fall wäre $\begin{eqnarray*} v_1^2 = \frac{gL}{\sin(2\beta)} \end{eqnarray*}$ für die Anfangsgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ richtig, d.h. ohne den zweiten Summanden im Nenner.

30.10.2011, 13:42

Dolian

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Mich wurmt das total, mag sein, dass ich einen Fehler gemacht habe, aber zwei Formeln hintereinander falsch abschreiben ist schon eine Leistung, vor allem nach Umstellung der Formel folgt noch was, das mir nicht in den Kopf will.
Die Übungen werden von einem Studenten höheren Semesters vorgerechnet, erst in den Tutorien darf man selber denken. Bonuspunkte gibt es weder für die Übungen noch für die Tutorien.
Aber hier erstmal die gesamt Aufgabe:

Zitat:

Ein Golfspieler schlägt einen Golfball der Masse m von einem Hügel der Höhe H in ein Loch der Entfernung L.

1. Leiten Sie die Gleichung für die Wurfparabel Y = Y(X) her.

2. Berechnen Sie für einen vorgegebenen Schlagwinkel von ß = 30° die erforderliche Anfangsgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_{0}. \end{eqnarray*}$

3. Welche Anfangsgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ ist mindestens erforderlich, damit der Ball das Loch im Flug erreicht?
Unter welchem Winkel $\begin{eqnarray*} ß_{1} \end{eqnarray*}$ lässt sich ein solcher Schlag durchführen?

Bekannt: m, H, L = 10H, g = 9,81 $\begin{eqnarray*} \frac{m}{s^{2}}. \end{eqnarray*}$

Aufgabe aus: Technische Mechanik 3, Prof. Dr.-Ing. R. Mahnken, M.Sc.

Die Stelle ist aus Aufgabe 3.
Die Vorüberlegung:
- Winkel ß variabel $\begin{eqnarray*} v_{1}^{2} = v_{2}^{2} (ß) \end{eqnarray*}$
- Minimum wenn $\begin{eqnarray*} \frac{dv_{1}^{2}}{dß_{1}} = 0 \end{eqnarray*}$

Lösung: (Hier nochmal die unkorrigierte Tafelmitschrift)
Umstellen der Wurfparabel nach $\begin{eqnarray*} v_{1}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{1}^{2}(x) = \frac{g * L^{2}}{Y_{0} + tanß * X * 2 * cos^{2}ß} Y_{0} = 0, X = L \Rightarrow v_{1}^{2}(x) = \frac{g * L^{2}}{tanß * L * 2 * cos^{2}ß} tanß = \frac{sinß}{cosß} \Rightarrow v_{1}^{2}(x) = \frac{g * L^{2}}{2 * sinß * cosß * L + 2 * cos^{2}ß * L} sin(2 * ß) = 2 * sinß * cosß \Rightarrow v_{1}^{2}(x) = \frac{g * L^{2}}{sin(2 * ß)L + 2 * cos^{2}ß * L} \end{eqnarray*}$

Minimum: (Ich verstehe nicht, was hier geschieht.)

$\begin{eqnarray*} \frac{dv_{1}^{2}}{dß_{1}} = 0 = \frac{-gL^{2}(2cos(2ß_{1})L + 4cos(ß_{1})L(-sin(ß_{1})))}{(sin(2ß_{1})L + 2cos^{2}(ß_{1})L)^{2}} = 2cos (2ß_{1})L - 4cos(ß_{1})Lsin(ß_{1}) = cos(2ß_{1})L - sin(2ß_{1})L = 0 \Rightarrow ß_{1} = \frac{1}{2} arctan (\frac{10H}{H}) = 42,1447° \end{eqnarray*}$

Danke nochmal für die Hilfe smile

30.10.2011, 14:37

René Gruber

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@Dolian

Sortiere mal bitte gründlich, wo $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und wo $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ zu stehen hat - bei dir steht nämlich an nahezu allen Stellen, wo ein $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ hingehört, ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ - sehr unübersichtlich. Da ist es ja fast einfacher, alles nochmal herzuleiten, als diesen Saustall aufzuräumen. unglücklich

30.10.2011, 15:11

Dolian

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Die einzigen beiden Hs sind in der letzten Zeile.
Da L = 10H.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ß_{1} = \frac{1}{2} arctan (\frac{(10H=L)}{H}) = 42,1447° \end{eqnarray*}$

Ansonsten verstehe ich leider nicht, was du meinst.

30.10.2011, 16:04

René Gruber

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Na z.B. in der vorletzten Zeile, aus der du ja deine letzte folgerst:

Zitat:

Original von Dolian
$\begin{eqnarray*} cos(2ß_{1})L - sin(2ß_{1})L = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn die stimmen würde, wäre die Folgerung $\begin{eqnarray*} \beta_1 = 22.5^{\circ} \end{eqnarray*}$ , also nicht das, was bei dir dann steht. Forum Kloppe

Damit die letzte Zeile stimmt, hätte vorher

$\begin{eqnarray*} \cos(2ß_{1})L - \sin(2ß_{1})H= 0 \end{eqnarray*}$

stehen müssen - und sicher beginnt der Fehler einige Zeilen eher, irgendwo schon im Ansatz: Wo sonst kommt denn das $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ her!

Wie ich schon sagte: An sich muss man alles nochmal von vorn aufrollen, denn deine Mitschrift scheint durch und durch unzuverlässig zu sein. unglücklich

30.10.2011, 17:27

Dolian

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Ich sehe bei dieser Tafelmitschrift absolut keine Chance, von selbst drauf zu kommen.
Und ich bin mir sicher, alles richtig abgeschrieben zu haben, der Tutor hat allerdings sehr oft Fehler an der Tafel korrigiert und ich sehe mich außerstande das Ergebnis zu reproduzieren.
Grundsätzlich übertrage ich alle Vorlesungen, Übungen und Tutorien nochmal ins Reine und versuche dabei nachzuvollziehen, was eigentlich gemacht wurde.

Ich verstehe nichtmal den zitierten Ausdruck.
Weshalb 2ß, vor allem ist doch der Cosinus definiert als $\begin{eqnarray*} cos \beta = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} \end{eqnarray*}$
Aber L und H sind doch zum Winkel ß Ankathete und Gegenkathete, wenn da also steht cos(ß)*Ankathete, was soll dann das Ergebnis sein?

30.10.2011, 17:31

René Gruber

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Ich betreibe hier keine "Tätersuche", d.h., wer wie wann was hier falsch aufgeschrieben hat - ich stelle nur fest, dass das $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ wie von Zauberhand erst in der Ergebniszeile zum ersten Mal auftaucht. Dass das nicht sein kann, sollte auch klar sein, ohne die gesamte Herleitung verstanden zu haben: Das muss schon im Ansatz irgendwo zu finden sein!!! unglücklich

30.10.2011, 17:42

Dolian

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Kann ich daraus folgern, dass überall bei einem Sinus die Gegenkathete (hier H) und beim Cosinus die Ankathete (Hier L=10H) stehen sollte?
Ja, aber was ist denn Sinus(ß)*Gegenkathete und Cosinus(ß)*Ankathete?
Ich kenne das aus der Trig nur so, dass dort eigentlich Sinus(ß)*Hypothenuse=Gegenkathete und Cosinus(ß)*Hypothenuse=Ankathete hingehört.

30.10.2011, 17:52

Dolian

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Vielen Dank nochmal,
ich mach erst morgen weiter, muss noch anderes Nacharbeiten.

smile

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