Beweis dass reelle Zahl zum Quadrat immer größer/gleich null ist

29.10.2011, 21:20

Student309835

Beweis dass reelle Zahl zum Quadrat immer größer/gleich null ist

Guten Tag,

Ich habe hier eine Aufgabe die sehr einfach aussieht. Ich soll zeigen, dass für alle reellen Zahlen
$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} a^2 \ge 0 \end{eqnarray*}$

Um das zu zeigen, habe ich versucht eine Fallunterscheidung zu machen, also einmal für a > 0 und einmal für a < 0. Aber wie es dann weitergeht...?

Zeigen könnte ich das auch, indem ich den Funktionsgraph f(a) = a^2 zeichne, wobei ich den Funktionsgraph jedoch nicht für alle reellen Zahlen a zeichnen kann...

Also daher bin ich etwas ratlos und weiß keinen Ansatz für diese einfach aussehende Aufgabe.

Wisst ihr, wie man so etwas zeigen kann?

Gruß
Student309835

29.10.2011, 23:49

Iorek

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Nutze für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ die Transitivität und Monotonie aus. Für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ betrachte $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ .

Den Fall $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ kann man dann direkt nachrechnen.

30.10.2011, 11:26

Student345784

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Zitat:

Nutze für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ die Transitivität und Monotonie aus.

Mit Transitivität meint man im Zusammenhang mit reellen Zahlen ja Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \text{Aus } x < y \text{ und } y < z \text{ folgt } x < z \end{eqnarray*}$ .

Und Monotonie ist gegeben (so weit ich weiß), wenn eine Funktion immer steigt oder immer absinkt im betrachteten Intervall. Muss ich also erst nachweisen, dass die Funktion f(a)=a^2 monoton ist für a>0?

Wie nutzt man das mit der Transitivität?

Kann ich z.B. so argumentieren (?):

$\begin{eqnarray*} 0^2 \ge 0 \text{ , daraus folgt } a^2 \ge 0 \text{ für } a > 0 \text{ , weil die Funktion } f(a)=a^2 \text{ monoton steigend ist für } a>0 \end{eqnarray*}$ .

Oder wie argumentiert man da genau?

30.10.2011, 11:37

Iorek

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Lass die Funktionen mal aus dem Spiel und verwende die Definition für einen angeordneten Körper.

Für $\begin{eqnarray*} 0<a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0<a\cdot b \end{eqnarray*}$ , damit bekommst du den Fall $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ abgearbeitet. Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ kann man es direkt ausrechnen, bleibt nur noch der Fall $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ .

30.10.2011, 20:12

Student304875

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Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} 0<a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0<a\cdot b \end{eqnarray*}$ , damit bekommst du den Fall $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ abgearbeitet.

Ist das schon der ganze Beweis für den Fall $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ ? Ich glaube schon. :-)

Ok, nun habe ich was gelernt und versuche es mal auf den Fall $\begin{eqnarray*} a < 0 \end{eqnarray*}$ anzuwenden. Und zwar mache ich das wie folgt:

$\begin{eqnarray*} a < 0 \Leftrightarrow \text{-}a > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b < 0 \Leftrightarrow \text{-}b > 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} 0 < \text{-}a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < \text{-}b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0 < \text{-}a\cdot \text{-}b = a \cdot b \end{eqnarray*}$

Und den Fall a = 0 nachzurechnen ist ja auch einfach: $\begin{eqnarray*} 0^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun ist die komplette Aufgabe gelöst, d.h. es wurde gezeigt dass $\begin{eqnarray*} a^2 \ge 0 \end{eqnarray*}$ gilt, oder?

30.10.2011, 20:14

Iorek

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Nein, das ist noch nicht der ganze Beweis. Aber du kannst das benutzen, um den Beweis zu führen.

Wieso sollte mit $\begin{eqnarray*} ab>0 \end{eqnarray*}$ gezeigt sein, dass $\begin{eqnarray*} a^2>0 \end{eqnarray*}$ ist?

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