Gts eine bijektive Abbildung R->R/O

29.10.2011, 22:32

otep

Gts eine bijektive Abbildung R->R/O

Hallo,

ich versuch gerade eine bijektive Abbildung für
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ->\mathbb R /{0} \end{eqnarray*}$ zu finden.

Der Graph einer solchen Abbildung müsste ja von $\begin{eqnarray*} y=-\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} y=\infty \end{eqnarray*}$ gehen und dürfte keine Nullstelle haben... oder nicht?

So weit ich weiss darf eine Abbildung ja einen Definitionsbereich haben der "kleiner" ist als der Zielbereich, aber dann muss die Abbildungsvorschrift auch entsprechend so sein dass jedem Element des Definitionsbereichs mindestens ein Element aus dem Zielbereich zugeordnet werden kann...richtig?

29.10.2011, 22:44

Airblader

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RE: Gts eine bijektive Abbildung R->R/O

Zitat:

Original von otep
dass jedem Element des Definitionsbereichs mindestens ein Element aus dem Zielbereich zugeordnet werden kann...richtig?

Nicht nur mindestens, sondern genau. Deine Gedanken sind soweit richtig. Naheliegend wäre natürlich erstmal $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ , doch für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ müsste man sich was anderes überlegen. Dann hat man aber das Problem, dass bereits alle anderen Werte vergeben sind und man die Bijektivität nicht erhalten könnte.

Es läuft daher darauf hinaus, diese Identitätsfunktion nicht nur an einer Stelle, sondern auf einer ganzen Menge etwas zu variieren. Als kleinen Tip könnte man sagen: Schau dir mal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ an.

air

29.10.2011, 23:01

otep

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Hallo Airblader,

also für $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ wäre es keine gültige Abbildung weil die 0 aus dem Definitionsbereich keinen gültigen Funktionswert liefert und für $\begin{eqnarray*} 1/(n+1) \end{eqnarray*}$ gilt das gleiche für die -1. irgendwie komm ich nicht weiter... im moment versuche ich einen Beweis zu formulieren dass es keine bijektive Abbildung gibt, aber das ist auch nicht leichter Augenzwinkern

29.10.2011, 23:50

Airblader

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Nicht nur nicht leichter, sondern unmöglich, denn es gibt eine. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ gleichmächtig sind muss es ja schließlich eine geben.

Ich korrigiere meinen Tipp, ich hatte ein anderes Beispiel im Kopf. Betrachte nicht Kehrwerte, sondern einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wir definieren also $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb R \to \mathbb R_{\neq 0} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} f\big|_{\mathbb R \setminus \mathbb N}(x) = x \end{eqnarray*}$ . Wie kannst du nun den fehlenden Rest $\begin{eqnarray*} f\big|_{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ definieren?

Etwas länger als 'ne viertel Stunde darf man da ruhig drüber nachdenken. Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ bezeichne ich übrigens die natürlichen Zahlen inklusive der Null.

air

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