Summenzeichen Binomialkoeffizient

30.10.2011, 00:39

Nadoo

Summenzeichen Binomialkoeffizient

Meine Frage:
Hallo, es soll per Induktion gezeigt werden, dass für alle ne elemtent aus N folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{-1^{k} }{k+1}\cdot \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe Probleme mit den Umformungen beim Induktionsschluss. Ich weiß zwar, dass ich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac{-1^{k} }{k+1}\cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} =\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$
entprechend umformen muss um die Induktionsvoraussetzung nutzen zu können, bin mir aber bei Umformungen mit dem Summenzeichen sehr unschlüssig. Deswegen würde ich mich über eine Hilfe diesbezüglich sehr freuen.

30.10.2011, 09:09

maincoon25

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Hallo, muss diese Aufgabe auch lösen, stecke aber ein bisschen weiter hinten fest. Wenn mich nicht alles täuscht, kannst du die nächste Reihe so angeben:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac{(-1)^{k}}{k+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}= \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}+ (n+1) \end{eqnarray*}$

und für n+1 über k kannst du dann eine Summe schreiben, die wir schon mal hatten
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann müsstest du zwei Summen aufschreiben. Bei der ersten kannst du dann die IV einsetzten aber bei der zweiten komme ich selber nicht weiter unglücklich

30.10.2011, 09:20

René Gruber

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Alternativ kann man

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1} \cdot \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1} \cdot \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray*}$

nutzen, dann hat man

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k} }{k+1}\cdot \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k+1} (-1)^{k} = -\frac{1}{n+1} \cdot \sum\limits_{j=1}^{n+1} \binom{n+1}{j} (-1)^{j} \end{eqnarray*}$ ,

letzteres per Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} j=k+1 \end{eqnarray*}$ . Andererseits kann man $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n+1} \binom{n+1}{j} (-1)^{j} \end{eqnarray*}$ leicht über den Binomischen Satz bestimmen.

30.10.2011, 09:58

Fritz123

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Bin auch an der Aufgabe am Rechnen :-) Ihr studiert auch in Köln, stimmts?

30.10.2011, 10:01

Leopold

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Mit schwererem Geschütz läßt sich die Aufgabe auch so lösen:

Integriere die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \left( 1 - x \right)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k \end{eqnarray*}$

über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in den Grenzen von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Ob dieser Lösungsansatz gültig ist, hängt natürlich davon ab, inwieweit du Methoden der Analysis verwenden darfst.

30.10.2011, 18:41

chi

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Summenzeichen Binomialkoeffizient
Warum geht das: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k} }{k+1} = \frac{1}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{k} \end{eqnarray*}$ ?

Soweit ich weiß müsste es nur gehen, wenn es sich um eine Konstante handelt, ist es aber nicht in diesem Fall.

30.10.2011, 18:44

René Gruber

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Zitat:

Original von chi
Warum geht das: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k} }{k+1} = \frac{1}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{k} \end{eqnarray*}$ ?

Es geht nicht, es hat auch niemand behauptet, dass das geht. Lies bitte gründlich!

30.10.2011, 18:46

chi

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Summenzeichen Binomialkoeffizient
müsste man sowas nicht explizit beweisen, bevor man es verwendet, das hatten wir nämlich nicht
edit: da wir schon mal dabei sind, wie beweißt man denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1} \cdot \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1} \cdot \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray*}$ ?
Hoffe mal wir dürfen es verwenden.
Wenn wir es nicht verwenden dürfen, bringt uns dies ja auch nicht viel.

30.10.2011, 19:09

René Gruber

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Zitat:

Original von chi
wie beweißt man denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1} \cdot \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1} \cdot \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray*}$ ?

So: $\begin{eqnarray*} \definecolor{white}{rgb}{0.99,0.99,0.99} \color{white} \frac{1}{k+1} \cdot \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1} \cdot \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Sollte die Frage aber den Beweis betreffen: Expandiere doch beide auftretenden Binomialkoeffizienten gemäß ihrer Definition über die Fakultäten, dann ist das ganze in einer einzigen Zeile begründbar.

30.10.2011, 19:19

chi

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Summenzeichen Binomialkoeffizient
OK hab ich verstanden, aber irgendwie weiß ich nicht wohin dein alternativer Lösungsvorschlag mich führt, daher wollte dort ansetzen, wo ich im anderen Post aufgehört habe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k+1}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k+2}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Es sind nur noch zwei Schritte glaub ich, komme aber irgendwie nicht voran. Ideen?
Induktion Summe

30.10.2011, 19:48

chi

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RE: Summenzeichen Binomialkoeffizient
ich weiß, dass wir jetzt die Induktionsvoraussetzung benutzen müssen, aber trotzdem habe so Probleme beim Zusammenfassen.

30.10.2011, 20:18

chi

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RE: Summenzeichen Binomialkoeffizient
Wie schauts denn aus, hat keiner eine Idee?

30.10.2011, 20:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von chi
Wie schauts denn aus, hat keiner eine Idee?

Also ich sehe da oben sogar zwei Ideen (Leopold, René Gruber). Den Weg über

Zitat:

Original von chi
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k+1}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k+2}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Es sind nur noch zwei Schritte glaub ich

halte ich aber für eine Sackgasse - zumindest sind es weit mehr als die zwei Schritte, auf die du hoffst.

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