Komplexe Zahlen - 2 kleine Rechnungen"

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breezy Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen - 2 kleine Rechnungen"
Hallo, habe für meine 2. Hausübung 2 Aufgaben mit komplexen Zahlen bekommen, da ich mir allerdings unsicher bin ob das so stimmt, poste ich sie mal hier:

Bestimmen Sie sämtliche Lösungen (CC steht hier für die komplexen Zahlen)

a)
z' soll hier für das z mit dem horizontalem strich obendrüber stehen (die konjiugiert komplexe Zahl von z)

bei dieser Aufgabe habe ich erstmal umgeformt, sodass ich z auf einer seite alleine stehen habe:


hiernach habe ich die konjiugiert komplexe zahl wieder in das normale z umgewandelt durch umdrehen von + und - (hierbei bin ich mir unsicher da unser prof uns dies nicht wirklich erklärt hat und aus dem skript das so hervorging, dass nur stichrechnungen verändert würden...)
sprich ich erhalte:



stimmt das so?


Aufgabe b)



durch 3 teilen



mit z multiplizieren



umformen



binom



wurzel (darf man ja in den komplexen zahlen auch aus negativen zahlen ziehen)



daraus ergibt sich dann z= 5 oder z = -1



soweit meine vorgenhensweise...
hoffe es stimmt wenigstens ansatzweise...
lg sven smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - 2 kleine Rechnungen"
Zitat:
Original von breezy


...



stimmt das so?


Nein, das stimmt nicht. Beim Übergang zum konjugiert Komplexen ändern nur die Imaginärteile (also alles von der Form "reelle Zahl mal i") ihr Vorzeichen.

Die komplexe Konjugation ist dabei mit allen Grundrechenarten verträglich. Die folgenden Regeln gelten für alle (bei der letzten ist noch vorauszusetzen):



Und für gilt:



Die richtige Rechnung würde daher so lauten:



Ich würde dir allerdings ein ganz anderes Vorgehen vorschlagen: Beseitige ganz zu Anfang alles Imaginäre in den Nennern. Dazu mußt du den ersten Bruch mit erweitern, den zweiten mit (das sind gerade die konjugiert komplexen Zahlen der Nenner). Ausmultiplizieren, ausklammern, kürzen. So sieht alles schon viel einfacher aus ...
breezy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - 2 kleine Rechnungen"
wenn ich die nenner mit ihren konjiugiert komplexen zahlen malnehme müsste ja 1 bei rauskommen
z.B. (1+i)(1-i) = 1
bzw (i+3)(i-3) = 1


unser prof hat leider das thema in 15minuten durch gerattert und hat dazu net viel erzählt außer dass das anordnungaxiom nicht gilt und für quadrate etc auch negative zahlen rauskommen können.... deswege diese doofen fragen, weil ich im grunde nichts über die rechenregeln weiß...



edit: moment das ist schwachsinn ist ja der 3. binom .....
breezy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - 2 kleine Rechnungen"
hier nun mein ergebnis:



das kürzt sich dann zu



stimmt das so?

lg sven smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - 2 kleine Rechnungen"
Zitat:
Original von breezy
z.B. (1+i)(1-i) = 1
bzw (i+3)(i-3) = 1


unglücklich

Ganz normal rechnen unter Beachtung von .



So multipliziert man aus.
breezy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - 2 kleine Rechnungen"
hatte grad irgendwie total en brett vorm kopf omg ... logischwerweise 3. binom ...



so aber jetzt:




ausmultiplizieren




i² soll -1 sein, einsetzen und umformen
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im Nenner des zweiten Bruches muß es heißen.
breezy Auf diesen Beitrag antworten »

schon wieder verrechnet mahn...



das kürzt sich dann weg und

kann das sein
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann sein. Jetzt schreibe kanonisch und trenne in Real- und Imaginärteil.
breezy Auf diesen Beitrag antworten »

okay, das hab ich jetzt net so ganz verstanden wie man des macht. also

z = a +ib
a ist der realteil b der imaginärteil

wie wende ich das jetzt auf mein ergebnis an mit dem


an?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Also - lieber statt . Sei's drum.



Das ist die Definition der komplexen Konjugation.

Bei kannst du auf zwei verschiedene Weisen vorgehen:

Du kannst zunächst den Term unter dem Querstrich ausrechnen, danach komplex konjugieren (nur beim Imaginärteil das Vorzeichen ändern).

Oder du kannst die Verträglichkeit der komplexen Konjugation mit der Multiplikation (siehe Formel aus meinem ersten Beitrag) verwenden:



Und jetzt erst einsetzen.
breezy Auf diesen Beitrag antworten »

und wie komme ich damit auf irgendwelche ergebnisse? das meinte ich mit nicht verstanden, wurde nicht vorgerechnet... kp was ich jetzt machen soll unglücklich

edit: hilft es mir weiter wenn ich weiß das i als (0,1) definiert ist?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei komplexe Zahlen sind dann und nur dann gleich, wenn sie simultan in Real- und Imaginärteil übereinstimmen. Oder in Formeln:



Hierbei ist vorausgesetzt, daß reelle Zahlen sind.

heißt Realteil, Imaginärteil der komplexen Zahl .

In deiner Gleichung



kann man daher folgendermaßen rechnen (den ersten Schritt habe ich schon im vorigen Beitrag erklärt):





Jetzt noch ausmultiplizieren und vereinfachen. Wenn du alles auf eine Seite bringst und es so schreibst



erhältst du durch Vergleich von Real- und Imaginärteil zwei Gleichungen in den Unbekannten (beachte, daß die komplexe Zahl ist, bei der sowohl Real- wie auch Imaginärteil sind, also ). Dieses Gleichungssystem mußt du lösen.
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