Nullstellen berechnen

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Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen berechnen
Meine Frage:
Ich brauche dringend Hilfe.
Wie berechne ich die Nullstellen von der Funktion
f(x) = 1/8 (3x^4 - 8x^3 + 16).

Ich hab schon vieles versucht, komme aber einfach nicht auf die Lösung.
Kann mir bitte jemand helfen.
Bitte. Vielen Danke schon mal im Voraus.

Meine Ideen:
Ich hab die Gleichung erstmal gegen 0 gesetzt.
Ich schaff es leider nicht die Gleichung auch nach 0 aufzulösen. unglücklich
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du es denn schon mit Polynomdivision probiert? Augenzwinkern
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

hi
ja mit der Polinomdivision hab ich es auch schon versucht.
bin aber kläglich gescheitert... unglücklich

wäre nett, wenn du mir helfen würdest
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne.

Du weißt, dass man bei der Polynomdivison erst mal raten muss. Hast du das schon
getan? Augenzwinkern
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

ja
also ich dachte mir so vllt (x-2)

ich hab die Polynomdivision leider nicht hinbekommen.

und das problem ist, ich versteh das nicht so recht.

es wäre super mega lieb von dir, wenn du mir vllt mal einen Ansatz geben würdest.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. x=2 ist Lösung unseres Problems. Und damit ist (x-2) ein Linearfaktor Freude


Wir haben also:
1/8 (3x^4 - 8x^3 + 16)
bzw:
(3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2)=?


Dir ist klar, dass man das 1/8 weglassen kann? Wenn die Klammer Null ist, ist egal
was davor steht Augenzwinkern Der Einfachhalber lassen wirs weg.
Wie würdest du denn den ersten Schritt angehen? smile
 
 
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dass man 1/8 weglassen kann wusste ich nicht...
danke dafür

mhh

also ich würde sagen....

(3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3
- 3x^4 - 8x^3
--------------------
16x^3 + 16

so würde ich erstmal denken...

stimmt das bis jetzt???
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist aber klar geworden, warum man das machen kann? Augenzwinkern


Bisher siehts gut aus Freude
Beachte jetzt, dass wir nicht nur

stehen haben, sondern eigentlich:


Mach mit dieser Hilfe mal den nächsten Schritt smile


Oh ein Fehler ist drin... ist nicht 16x^3 Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Und -6x³ steht da noch nicht mal sondern -8x³ und die Klammern fehlen und....
Insofern ist da eher wenig richtig. Augenzwinkern
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

okay???

ähh ich würde dann sagen


(3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3 + 16x^2 + 0x + 16
- 3x^4 - 8x^3
--------------------
16x^3 + 0x^2
- 16x^3 + 0x^2
-------------------------
0x^2 + 0x
- 0x^2 + 0x
---------------------------
0+ 16
- 0+ 16


mhh

so vllt...?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen Edit noch gesehen? Augenzwinkern

Du musst hier "rückwärts" rechnen:


Das ergibt? Dann mach das nochmals Augenzwinkern

Mach dann erst mal Stopp und zeig mir dein Zwischenergebnis. Was du danach machst,
sieht etwas dürftig aus^^.
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

also dann so...

3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3
- 3x^4 - 6x^3
------------------
-2x^3

ist dann bis dahin richtig?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yup, das ist nun richtig Freude

Ok beachte nun meinen obigen Tipp mit


Behalte auch das "Rückwärtsrechnen" im Hinterkopf.
Wie sieht damit der nächste Schritt aus?
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal sorry, dass ich mich so doof anstelle
und danke, dass du mir hilfst und so viel gedult mit mir hast


also dann

3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3 - 2x^2
- 3x^4 - 6x^3
------------------
-2x^3 + 0x^2
- -2x^3 + 4x^2
-------------------
4x^2 + 0x


und wie sieht es jetzt damit aus??? verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Schritt mit -2x^2 ist richtig, aber du hast eine Klammer vergessen und dann
deswegen einen Fehler gemacht Augenzwinkern

3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3 - 2x^2
- (3x^4 - 6x^3)
------------------
-2x^3 + 0x^2
-( -2x^3 + 4x^2)
-------------------
4x^2 + 0x


Wie sieht deshalb die letzte Zeile aus?
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

ich will ja jetzt nichst sagen
okay ich hab die klammern vergessen, aber dann war doch mein ergebniss trotzdem richtig unglücklich

egal
aber dake für den hinweis mit den Klammern

3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3 - 2x^2 + 4x + 8
- (3x^4 - 6x^3)
------------------
-2x^3 + 0x^2
-( -2x^3 + 4x^2)
-------------------
4x^2 + 0x
- (4x^2 - 8x)
-----------------------
8x + 16
-(8x - 16)
------------------------
32


aber muss am ende nicht immer 0 rauskommen
was war diesmal mein fehler unglücklich
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

fehler selbst gefunden


3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3 - 2x^2 + 4x - 8
- (3x^4 - 6x^3)
------------------
-2x^3 + 0x^2
-( -2x^3 + 4x^2)
-------------------
4x^2 + 0x
- (4x^2 - 8x)
-----------------------
8x - 16
-(8x - 16)
------------------------
0

dann stimmt doch jetzt alles oder??
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Neinnein, da war schon ein Fehler Augenzwinkern Ein Vorzeichenfehler.

3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3 - 2x^2 + 4x + 8
- (3x^4 - 6x^3)
------------------
-2x^3 + 0x^2
-( -2x^3 + 4x^2)
-------------------
-4x^2 + 0x



Es ist doch -( -2x^3 + 4x^2) =-(-2x^3)-(+4x^2)=2x^3-4x^2 Augenzwinkern
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe-Stern
fehler selbst gefunden


3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3 - 2x^2 + 4x - 8
- (3x^4 - 6x^3)
------------------
-2x^3 + 0x^2
-( -2x^3 + 4x^2)
-------------------
4x^2 + 0x
- (4x^2 - 8x)
-----------------------
8x - 16
-(8x - 16)
------------------------
0

dann stimmt doch jetzt alles oder??


Nein leider nicht. Da schau nochmals meinen Beitrag drüber an.
Knackpunkt ist grad -4x^2 ^^
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

och man

jetzt versteh ich gar nciht mehr....

3x^4 - 8x^3 + 16): (x-2) = 3x^3 - 2x^2 - 4x - 8
- (3x^4 - 6x^3)
----------------------
-2x^3 + 0x^2
-( -2x^3 + 4x^2)
----------------------
-4x^2 + 0x
- (- 4x^2 + 8x)
----------------------
-8x + 16
- (-8x + 16)
------------------------
0


so jetzt muss es aber stimmen
oder???
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yup so ists richtig Augenzwinkern
Ist auch verstanden? Vorzeichen beachten! Klammern setzen! smile

Wir haben jetzt ein neues Polynom dritten Grades. Hier brauchen wir nochmals die
Polynomdivision. Also nochmals raten Augenzwinkern .
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

ja
also die rechnung hab ich jetzt verstanden
aber nur durch dich, danke vielen danke

ähhh
jetzt würde ich das gegenteil nehemen

also (x+2)

richtig...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich wenns verstanden ist und ich dabei helfen konnte smile


Warum würdest du denn jetzt das Gegenteil nehmen?
Wie gesagt, du musst raten. Aber nicht ziellos sondern bestimmt^^
Musst ja wieder durch das erratene x die Gleichung 0 setzen können.
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

ahh okay...
und das kann ich ja mit (x+2) machen

oder mach ich jetzt einen denkfehler???
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

(x+2) bedeutet, dass x=-2 ist.

Machen wir mal eine Probe:



Augenzwinkern

Probiers lieber nochmals mit x=2. Vllt haben wir es mit einer doppelten Nulllstelle zu tun verwirrt
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

okay
danke

ich versuche es dann mal mit (x+2)
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

ohh sorry

ich meinte

(x-2)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Freude
Du hast überprüft ob x=2 eine weitere Lösung ist?
Oder hast du mir einfach geglaubt Teufel .
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

3x^3 - 2x^2 - 4x – 8 : (x-2) = 2x^2 + 2x
- (3x^3 - 4x^2)
---------------------
2x^2 - 4x
-(2x^2 - 4x)
-------------------

mhh
jetzt komm ich nciht weiter

wil dann hätte ich ja



3x^3 - 2x^2 - 4x – 8 : (x-2) = 2x^2 + 2x
- (3x^3 - 4x^2)
---------------------
2x^2 - 4x
-(2x^2 - 4x)
-------------------
0-8

ich brauche nochmal deine hilfe...
sorry
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hast du denn rechts 2x² stehen? Da müsste doch 3x² stehen^^
Der Fehler zieht sich durch. Verbessere den also mal und versuchs erneut.
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

danke

ich weiß auch nciht, warum das da stand
hab ich mich wohl verguckt

danke

du bist echt meine Rettung, sonst würde ich durchfallen
danke

ich versuch es gleich nochmal
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

okay
stimmt das jetzt?


3x^3 - 2x^2 - 4x – 8 : (x-2) = 3x^2 + 4x + 4
- (3x^3 - 6x^2)
---------------------
4x^2 - 4x
-(4x^2 - 8x)
-------------------
4x – 8
-(4x - 8)
-------------
0


so
jetzt hab ich das ja auch gelöst
und was muss ich dann machen
muss ich jetzt die pq-formel anwenden?

und was bedeutet doppel-nullstelle?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Bravour Freude
Das ist alles richtig Augenzwinkern


Die pq-Formel kannst du nur anwenden, wenn vor dem x² ne 1 steht. Musst also
das gesamte erst mal durch 3 teilen.
Mach das mal und wende die pq-Formel an!
Schummle aber nicht und mach es wie du denkst, dass es richtig ist! Wundere dich dann nicht
über das Ergebnis Augenzwinkern


Das wollte ich späters noch anmerken. "Doppelte Nullstelle" bedeutet so viel wie:
"Der Graph schneidet nicht die Achse, sondern berührt sie nur".



Wie du siehst haben wir bei x=2 eine doppelte Nullstelle -> sie berührt die x-Achse, schneidet
sie aber nicht! smile
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

0 = 3x^2 + 4x + 4 I :3
0 = x^2 + 4/3x + 4/3

- p/2 +/- √ (p/2)^2 – q

- 2/3 +/- &#8730traurig 2/3)^2 - 4/3
- 2/3 +/- √-0,52

und nun kann man nicht weiter rechnen, weil man aus einem neg. Wert keine Wurzel ziehen kann
richtig?
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

oh man
√ sollte eingtlich das wurzelzeichen sein

man--- unglücklich
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Vor lauter komische Symbole kann ich nichts lesen.
Deine Aussage ist aber richtig -> wir haben einen negativen Wert unter der
Wurzel und sind damit am Ende unserer Möglichkeiten.

Für unser Problem gibt es also nur zwei reelle Nullstellen! und

Klar? Augenzwinkern
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

klar...

aber eine sache noch (sorry)


wenn ich den Schnittpunkt mit der y-achse ausrechne

dann kommt bei mir

Sy (0/2)

raus...

kann das stimmen???

wenn ja, dann fällt der Graph im 2.Quadranten doch wieder und berüht die x-Achse bei -2 auch noch...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Den Schnittpunkt mit der y-Achse hast du richtig errechnet Freude

Aber deswegen folgt nicht automatisch, dass wir auch bei x=-2 eine Nullstelle haben.
Das wäre nur zwingend, wenn wir eine Symmetrie haben.
Sieh im Schaubild: Wir haben keine Symmetrie Augenzwinkern




Klar? smile
Mathe-Stern Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke...
ja jetzt klar


jetzt muss ich nur noch die wendepunkte und Extrema ausrechnen verwirrt
dann hab ich es geschafft

und hab dank dir keinen ausfall

vielen dank
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du Probleme hast, meldest dich wieder Augenzwinkern

Wichtig: Das 1/8 haben wir weggelassen. Für die Nullstellenbestimmung.
Das ist richtig, denn ob 0=0 oder 1/8*0=0 ist ja egal.
Aber für Extremaberechnung etc muss man das gegebenfalls wieder beachten!


Ansonsten gerne smile

Wink
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