Funktionsgleichungen - Verfahren zur Berechnung zweier Gleichungen

30.10.2011, 13:45

Funktion

Funktionsgleichungen - Verfahren zur Berechnung zweier Gleichungen

Hallo allerseits,

ich beginne schon mit dem üben für eine baldige Mathearbeit hätte aber ein paar Fragen dahingehend.

Also zuerst gibt es für quadratische Funktionen folgende Gleichungen:
1. Normalsform: $\begin{eqnarray*} y=ax²+bx+c \end{eqnarray*}$

2. Scheitelpunktform: $\begin{eqnarray*} y=a(x-d)²+e \end{eqnarray*}$

Zweitens:
Nullstellen: Nullstellen sind Schnittpunkte einer quadratischen Funktion mit der x-Achse. Eine quadratische Funktion kann somit 2 Nullstellen, 1 Nullstelle(Scheitelpunkt) oder keine Nullstelle haben.

Gibt es dann auch eine Gleichung wie die beiden obigen als Nullstellenform?

$\begin{eqnarray*} Drittens: \end{eqnarray*}$
Jetzt kommen diese Verfahren. Ich kenne das Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.

Gleichsetzungsverfahren:
Das Gleichsetzungsverfahren nutzt man wenn man zwei schon gleich aufgelöste Terme hat, wie z.B.:
$\begin{eqnarray*} a+b=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4a+2b=3 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man beide Gleichungen nach a auflösen und wie geht es weiter?

Einsetzungsverfahren:
Dazu muss man einen von zwei termen auflösen und den nichtaufgelösten in den aufgelösten einsetzen, oder? Wie geht das denn genau?

Additionsverfahren:
Tja, da weiß ich nun leider gar nichts zu. Beide Terme werden in einander addiert, oder, aber wie und wann weiß ich nicht.

Ich hoffe ihr könnt mir sagen, ob die oberen Sachen richtig sind und wie die drei verfahrensarten funktionieren.

Vielen Dank
Grüße

30.10.2011, 13:55

sulo

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RE: Funktionsgleichungen - Verfahren zur Berechnung zweier Gleichungen

Zitat:

Gibt es dann auch eine Gleichung wie die beiden obigen als Nullstellenform?

Eine Nullstellenform kann die Zerlegung in Linearfaktoren sein:
Diese Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = a_2x^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

kannst du schreiben als $\begin{eqnarray*} f(x) = a_2\cdot(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$

Zu den Verfahren: Hier werden sie sehr schön erklärt: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/gleichungssysteme1.htm

smile

30.10.2011, 13:59

Funktion

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Ach ja, doch das fällt mir wieder ein.
Lieben Dank für den Link, wenn ich noch Fragen habe melde ich mich, danke!

Gruß

30.10.2011, 16:03

Funktion

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Hallo,

ich versuche mal das Verstandene zu erklären, bitte berichtigt mich, wenn es falsch ist.
Also Gleichungssystem entstehen, wenn man n Gleichungen hat(für uns jetzt n=2) mit n Unbekannten. Das System hat also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Als erstes löse ich also die beide Gleichung nach b auf(man kann doch auch a nehmen, aber es muss für beide Gleichungen die gleiche Variable sein, stimmts?), b steht dadurch auf einer Seite, es ergibt aber keine einseitige Lösungsmenge, denn wir haben ja zwei Unbekannte. Dadurch kann man aber für jeden Wert der ersten Unbekannten(a) den Wert des abhängigen zweiten Unbekannten(b) errechnen, oder?

Jetzt muss ich die andere Seite beider Gleichungen einander gleichsetzen und die entstehende Gleichung nach der Variable lösen. Die daraus resultierende Lösung muss in einer der beiden umgeformten Gleichungen am Anfang eingesetzt werden, um die andere Variable zu erhalten.

Stimmt das jetzt so? Habe ich alles beim Gleichsetzungsverfahren richtig verstanden?
In Mathe bin ich immer ein wenig schwer von Begriff.

Gruß

30.10.2011, 16:08

sulo

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Ich denke, du hast das Prinzip verstanden. Freude

Es muss übrigens nicht zwingend die Variable ohne Koffizient sein, du kannst auch (beide Gleichungen natürlich) nach einem Vielfachen der Variablen umwandeln.

smile

01.11.2011, 18:06

Funktion

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Hallo,

ich bin nochmal hier. Also nehmen wir einmal dieses Beispielsystem:

$\begin{eqnarray*} a+b=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4a+2b=3 \end{eqnarray*}$

Anwenden des Gleichsetzungsverfahrens:

1. Auflösen beider Gleichungen nach der gleichen Variablen.
Auflösen mit Variable b:

$\begin{eqnarray*} a+b=1| -a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=1-a \end{eqnarray*}$

1.2 $\begin{eqnarray*} 4a+2b=3| -4a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2b=3-4a| :2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=1,5-2a \end{eqnarray*}$

2. Jetzt muss man doch gleichsetzen, aber wie geht das genau? Heißt das, dass ich einen beliebeigen Wert für b oder a einsetze? Die sind ja voneinander abhängig.

Danke!

01.11.2011, 18:18

sulo

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Nein, gleichsetzen heißt gleichsetzen. Augenzwinkern

Du weißt: 1) b = 1 - a
und auch: 2) b = 1,5 - 2a

Und weil b = b, kannst du schreiben: 1 - a = 1,5 - 2a

Eine Gleichung mit 1 Unbekannten, sollte lösbar sein. smile

01.11.2011, 18:20

Mathefreak23

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Hallo,

gleichsetzen bedeutet, da bei beiden Ausdrücken schon nach b umgeformt wurde, diese nun identisch sind

b=b

und somit

1-a = 1,5-2a

Wenn du dies nun umformst, erhälst du a und kannst es in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen

01.11.2011, 18:36

Funktion

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Zitat:

Original von sulo
Nein, gleichsetzen heißt gleichsetzen. Augenzwinkern

Du weißt: 1) b = 1 - a
und auch: 2) b = 1,5 - 2a

Und weil b = b, kannst du schreiben: 1 - a = 1,5 - 2a

Eine Gleichung mit 1 Unbekannten, sollte lösbar sein. smile

Aha, super.
Lieben Dank, sulo.

Wenn also die eine Unbekannte gelöst ist kann man die andere aus beiden Gleichungen zu einer gleichsetzen!

Also:
$\begin{eqnarray*} 1 - a = 1,5 - 2a| -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=0,5-2a \end{eqnarray*}$

01.11.2011, 18:42

sulo

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Hmm, stimmt nicht so ganz....

Was bleibt von 1 - a, wenn du die 1 entfernst?

smile

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