Konvergenz von Folgen im komplexen Raum

30.10.2011, 13:50

Sopranino

Konvergenz von Folgen im komplexen Raum

Also, ich habe folgende Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{2n+i}{n-i} \end{eqnarray*}$

Die soll ich nun auf Konvergenz prüfen und, wenn sie konvergiert, soll ich den Grenzwert bestimmen.
Zunächst habe ich folgendermaßen rumgerechnet:
Mit *(n+i) erweitert:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+i)(n+i)}{(n-i)(n+i)} \frac{2n^{2}+3ni+i^{2} }{n^{2}-1} \frac{2n²}{n²-1}+\frac{3ni}{n²-1}-\frac{1}{n²-1} \end{eqnarray*}$

Der dritte Bruch konvergiert gegen 0, da n² immer größer wird und die -1 nicht viel ausmacht, habe ich für die weiteren Rechnungen den letzten Bruch weggelassen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n²}{n²-1}+\frac{3ni}{n²-1} \frac{2n²}{n²(1-\frac{1}{n²}) } +\frac{3ni}{n²-1} \frac{2}{1-\frac{1}{n²} } +\frac{3ni}{n²-1} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{1-\frac{1}{n²} } \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 2, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n²} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{1}=2 \end{eqnarray*}$

Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter.
Habe da stehen:
$\begin{eqnarray*} 2+\frac{3ni}{n²-1} \end{eqnarray*}$

Aber was passiert, wenn jetzt n gegen unendlich läuft? Ich weiß, dass der Nenner dann auch gegen unendlich läuft, aber habe leider keine Ahnung, was im Zähler passiert, da mich das i stört... Und wenn ich mit i erweitere, habe ich schließlich ein i im Nenner stehen, was mich auch nicht weitebringt...
Bin für jede Hilfestellung dankbar!!!

30.10.2011, 13:53

mnt

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RE: Konvergenz von Folgen im komplexen Raum
$\begin{eqnarray*} \frac{3ni}{n²-1} \end{eqnarray*}$
dividiere Zähler und Nenner mit $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$

Du hättest auch schon $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{2n+i}{n-i} \end{eqnarray*}$ je mit n dividieren können...

30.10.2011, 13:57

speedyschmidt

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Man mag es kaum glauben, aber der trick bei den Komplexen Zahlen ist, dass
$\begin{eqnarray*} (n+i)*(n-i)=n^2+1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

30.10.2011, 14:00

Sopranino

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Okay, dann habe ich da stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3i}{n} }{1-\frac{1}{n²} } \end{eqnarray*}$

Daran sehe ich, dass der Bruch gegen $\begin{eqnarray*} \frac{3i}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Aber dann? Kann ich einfach behaupten, der Bruch konvergiert auch gegen 0? Da i ja eine Konstante ist...

30.10.2011, 14:06

mnt

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Man mag es kaum glauben, aber der trick bei den Komplexen Zahlen ist, dass
$\begin{eqnarray*} (n+i)*(n-i)=n^2+1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Ups ^^
Sollte nicht so viel überfliegen...

Zitat:

Aber dann? Kann ich einfach behaupten, der Bruch konvergiert auch gegen 0? Da i ja eine Konstante ist...

Einfach behaupten kannst du das nicht - das muss man schon begründen...
Wie ist das noch gleich? z = 0 gdw. der Betrag von z = 0?!

30.10.2011, 14:16

Sopranino

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Ja, das mit dem + im Nenner hab ich schon gesehn. Aber dadurch ändern sich zum Glück die voherigen Rechnungen bzw. Ergebnisse nicht. Muss ich nur anders schreiben.

Okay, also ich sage, dass 3i/n = 0 wenn
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(3/n)²} =0 \end{eqnarray*}$
Also 9/n² = 0
und das stimmt ja, wenn ich n gegen unendlich laufen lasse.

Würde das reichen?

30.10.2011, 14:33

mnt

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Zitat:

Original von Sopranino
Okay, also ich sage, dass 3i/n = 0 wenn

3i/n ist nicht 0, denn was wäre denn n? Aber es konvergiert gegen 0.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(3/n)²} =0 \end{eqnarray*}$
Also 9/n² = 0
und das stimmt ja, wenn ich n gegen unendlich laufen lasse.

So darf man das nicht schreiben...

$\begin{eqnarray*} |\frac{3i}{n}| = \sqrt{ 0^2 + (\frac{3}{n})^2 } = \frac{3}{n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 14:42

Sopranino

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ja, das man das nicht schreiben darf, ist mir klar. ich wollte nur schnell machen Augenzwinkern

Danke für die Hilfe, jetzt hab ichs kapiert.

14.11.2011, 12:20

Sopranino

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Neue Gleichung, neues Glück... oder auch nicht...

Also, folgende Gleichung habe ich gegeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2-4i)^{n}+(3+3i)^{n+2}}{(-1-3i)(2-4i)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich erstmal ein wenig rumgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2-4i)^{n}}{(-1-3i)(2-4i)^{n-1}} +\frac{(3+3i)^{n+2}}{(-1-3i)(2-4i)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich erstmal den ersten Term betrachtet, weil der einfacher war:
$\begin{eqnarray*} =\frac{(2-4i)^{n-1}(2-4i)}{(-1-3i)(2-4i)^{n-1}} = \frac{(2-4i)}{(-1-3i)} = \frac{(2-4i)(-1+3i)}{(-1-3i)(-1+3i)} = \frac{-2+10i+12}{1+9} = \frac{10+10i}{10} = 1+i \end{eqnarray*}$

Aber bei dem zweiten komme ich nicht so recht weiter...

$\begin{eqnarray*} \frac{(3+3i)^{n+2}}{(-1-3i)(2-4i)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht, aus der 3+3i irgendwie ein -1-3i herauszuziehen, aber dieser versuch ist leider gescheitert. Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob das was gebracht hätte...

Über einen Ansatz wäre ich sehr dankbar!

LG

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