Warum kann ich einen 60°- Winkel mit Zirkel und Lineal dritteln, obwohl dies unmöglich sein soll? |
| 30.10.2011, 14:53 | Tzimiskes | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Warum kann ich einen 60°- Winkel mit Zirkel und Lineal dritteln, obwohl dies unmöglich sein soll? Warum kann ich einen 60°- Winkel mit Zirkel und Lineal dritteln, obwohl dies unmöglich sein soll (eines der drei klassischen Probleme der Geometrie)? An welcher Stelle habe ich (abgesehen von "ungenauen" Formulierungen) Fehler begangen, daß die Konstruktion wider Erwarten funktioniert? Meine Ideen: I. Man zeichne den zu drittelnden Winkel. II. Die Enden seines Kreisbogens verbinde man mittels einer Strecke. III. Diese Strecke unterteile man auf bekanntem Wege in drei gleich lange Segmente. IV. Außerdem ermittle man den Mittelpunkt dieser Strecke. V. Dieser diene als Zentrum eines Kreises, dessen Durchmesser mit der Länge der Strecke identisch ist. VI. In diesem Kreis konstruiere man ein gleichseitiges Dreieck, dessen Ecken die Kreisbahn berühren. Der erste Winkel liegt am Beginn der Strecke; die gegenüber liegende Kante steht senkrecht zu ihr. Damit wird auch die als 360° definierte Kreisbahn in drei gleich lange Abschnitte zerlegt. Sollte der zu teilende Winkel 60° betragen, so berührt der untere Winkel des Dreiecks einen der Schnittpunkte zwischen Kreisbahn und Winkelschenkel.. VII. Durch Verdoppelung des Dreiecks erzeuge man einen ebenmäßigen Davidstern, dessen Ecken gleichfalls allesamt das Kreisrund berühren. Die einfachste Methode hierfür ist eine Spiegelung an der Mittelsenkrechten der Strecke. Im Hinblick auf andere Teiler jedoch, sowie auf hierzu korrespondierende geometrische, ebenmäßige Figuren, wäre eine Drehung korrekter. Das Kreisrund ist nun in sechs gleich lange Abschnitte unterteilt, und damit die obere, als 180°- Winkel aufzufassende Hälfte in drei. VIII. An den äußeren Drittelmarken innerhalb der Strecke lasse man je eine Halbgerade nach oben und nach unten entspringen, die jeweils durch den nächstliegenden inversen Winkel des Davidsterns verlaufen. IX. An jeder dieser Halbgeraden errichte man eine Senkrechte, die den nächstliegenden, nicht auf der Strecke befindlichen spitzen Winkel des Davidsterns berührt. Diese Senkrechten verlängere man solange, bis sie die zur Gerade erweiterte Strecke schneiden. X. Den Kreuzungspunkt von Senkrechten und Gerade wähle man als Mittelpunkt eines neuen Kreises. Dessen Radius bildet der Abstand zur nächstliegenden Drittelung der Strecke, sowie zu den nächstliegenden, nicht auf der Strecke befindlichen spitzen Winkeln des Davidsterns. Der Radius des zweiten Kreises steht zu dem ersten im Verhältnis 7:3. XI. Da der Radius des zweiten Kreises definiert worden ist anhand der Markierungen, welche die Strecke und den 180°- Winkel gedrittelt haben, beschreibt seine Kreisbahn eine Drittelung aller dazwischen liegenden Winkel. Demzufolge stellt sein Schnittpunkt mit der Kreisbahn des Ursprungswinkels dessen Drittelung dar. P. S. Die Qualität der Zeichnung im Anhang leidet unter dem Problem, Bleistift auf Millimeterpapier einzuscannen. |
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| 30.10.2011, 15:29 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Netter Versuch... Ich hab die Konstruktion mal spaßeshalber mit Dynageo nachvollzogen: Der gedrittelte 60°-Winkel ist dort dann nachgemessene 19,9133° groß. Sicher ausreichend für die zeichnerische Genauigkeit, aber eben doch keine exakte Winkeldrittelung. 
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