a invariant :)

30.10.2011, 14:01

Furiusxx

a invariant :)

Meine Frage:
Sei V ein K- Vektorraum mit Basis B:= {v1,v2} und a element Hom (V,V) mit a(v1)=v1 und a(v2)=av1 + v2 für ein a element K\{0}. Bestimmen sie alle a invarianten Teilräume von V.

Meine Ideen:
Okay.. Da die Basis dim = 2 hat, müssen also die Teilräume dim =1 haben oder? Weil das ja Unterräume sind und daher die Dimension nicht gleich seien kann.

Und die einzigen invariaten Unterräume mit Dimension 1 sind doch die Eigenräume oder?

Dann habe ich die Darstellungsmatrix aufgestellt von a(v1) und a(v2) und darauf dann den Eigenwert berechnet der hier 1 ist (da chpol = (x-1)^2) ist.

Setze ich den nun ein und probiere damit die Eigenvektoren zu berechnen komme ich allerdings auf den 0 Vektor?!

Ist der ganze Ansatz falsch? Oder wo muss ich was ändern?

30.10.2011, 14:42

galoisseinbruder

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RE: a invariant :)

Zitat:

Original von Furiusxx
Meine Frage:
Sei V ein K- Vektorraum mit Basis B:= {v1,v2} und a element Hom (V,V) mit a(v1)=v1 und a(v2)=av1 + v2 für ein a element K\{0}. Bestimmen sie alle a invarianten Teilräume von V.

a für verschiedene Objekte in derselben Formel zu verwenden ist ziemlich - wie drück ich´s höflich aus - irreführend.

Zitat:

Meine Ideen:
Okay.. Da die Basis dim = 2 hat, müssen also die Teilräume dim =1 haben oder? Weil das ja Unterräume sind und daher die Dimension nicht gleich seien kann.

Basen haben keine Dimension, Vektorräume haben eine Dimension und es gilt:
Dimension des VR := Mächtigkeit einer Basis. Außerdem sind auch V und $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ auch Unterräume, die sog. trivialen Unterräume.

Der Rest stimmt bis einschließlich Minimalpolynom, der Eigenvektor ist aber nicht der 0-Vektor, da hast Du Dich verrechnet.

30.10.2011, 14:58

Furiusxx

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Ja gut der Vektorraum hat dim 2 :P

Naja wenn man
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v1) = 1v1 +0v2

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v2) = a v1 + 1 v2

Dann kommt man auf folgenden Matrize:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier ergibt der Eigenwert nun 1.

Und um dann an die Eigenvektoren zu kommen rechne ich:

(In * 1 - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) *x = 0

Dann ergeben sich 2 gleichungsysteme:

0 x1 + a x2 = 0
0x1 + 0x2 = 0

Ist mein einer vektor dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und der andere $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

30.10.2011, 15:09

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Furiusxx
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v1) = 1v1 +0v2

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v2) = a v1 + 1 v2

Das liefert mir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist für den Rest aber unerheblich.

Das zu lösende LGS ist alsio $\begin{eqnarray*} ax_2=0 \end{eqnarray*}$ oder anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a & |0 \\ 0 & 0& |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Da die Matrix Rang 1 hat ist der Lösungsraum eindimensional.

30.10.2011, 15:14

Furiusxx

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Man schreib doch die Linearkombination als Spalte oder?

Ja und das LGs was du nun unten hingeschrieben hast hab ich doch auch:

Und da ich bei beiden gleichungen 0 * x1 habe ist x1 doch beliebig.

Und beim anderen habe ich 0*x2=0 und einmal a*x2= 0 und da a element K\{0} ist muss x2 somit gleich 0 sein.
Also ist der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis meines Eigenraumes oder?

30.10.2011, 15:18

galoisseinbruder

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Zitat:

Wie kommst du darauf? Man schreib doch die Linearkombination als Spalte oder?

Ich persönlich nehm das transponierte davon als darstellende Matrix. Kann man beides machen, kommt beides vor.
Und zum Rest: ja.