Mengenlehre Vereinigung

30.10.2011, 15:05

Jagun

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Mengenlehre Vereinigung

Hallo ihrs,

Ich hab mal eine Frage an euch (was sonst :-) )
Sei K:= {{0,1},{0,2}}
und L:={(0,1),(0,2)}

Ist die Vereinigung von den Mengen K und L dann:
{{{0,1}},{{0,2}},{(0,1),(0,2)}} ?

Bin mir da sehr unsicher,
wäre sehr lieb, wenn mir da einer helfen könnte
Allerliebste Grüße
Jagun

30.10.2011, 15:09

Gast11022013

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RE: Mengenlehre Vereinigung
Meinst Du z.B. mit $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ das offene Intervall $\begin{eqnarray*} ]0,1[ \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2011, 15:17

Jagun

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nein, dass sollen geordnete Paare sein.
Also Die eine Menge K ist eine Vereinigung von zwei Mengen
Und L ist eine Menge mit zwei geordneten Paaren

30.10.2011, 15:19

Gast11022013

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Ah es geht also um ungeordnete (K) und geordnete Paare (L).

Meine Überlegungen wären dann folgende:

Wenn Du die ungeordneten Paare (Reihenfolge egal)

$\begin{eqnarray*} \left\{0,1\right\}=\left\{1,0\right\} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \left\{0,2\right\}=\left\{2,0\right\} \end{eqnarray*}$

mit den geordneten Paare

$\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$

vereinigst so hat man m.E.

$\begin{eqnarray*} (0,1), (0,2), (1,0), (2,0) \end{eqnarray*}$ .

30.10.2011, 15:28

Jagun

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Wenn es so heißt, ja.
ABer zurück zu meiner Frage, wenn ich die Mengen K und L vereinigen will, komme ich dann auf:
{{{0,1}},{{0,2}},{(0,1),(0,2)}}?

Oder ist das ergebnis falsch?

30.10.2011, 15:30

Gast11022013

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S. mein letztes Edit.

Das ist meine Idee.

PS. Ich lasse mich gerne eines Besseren belehren.

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30.10.2011, 15:40

Jagun

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Oh dass hatte ich nciht gesehen, entschuldige,...

Ich verstehe aber nicht ganz, warum dass so ist. Warum sind denn dass die ungeordneten Paare. Heißt das einfach so? Ich dachte das wäre eine Menge mit 3 Teilmengen ( ebend {0,1},{0,2}und {0,3})

Bei der Aufgabe sollen wir den Schnitt und die Vereinigung zeigen. Zudem ob K=L ist.

Meine idee war also, dass K geschnitten mit L die leere Menge ergibt, das ergebnis von ebend die Vereinigung und K nicht gleich L ist.

Das ist dann falsch oder ?

30.10.2011, 15:42

Gast11022013

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Wie gesagt, ich bin mir selbst nicht so absolut sicher!

Da Du aber bei L die geordneten Paare betrachtest sind bei K vermutlich die ungeordneten Paare gemeint!

30.10.2011, 15:53

Jagun

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Ich weiß nicht ob das weiterhilft (vermutlich nicht) aber wir haben mit dem K vorher schon gearbeitet. Und zwar sollten wir die P(M) den Schnitt und die Vereinigung zeigen.

Wenn es sich um ungeordnete Paare handelt, so hieße dass ja dann, dass der Schnitt der Mengen nicht leer ist, sondern:
{(0,1)(0,2)} oder nicht.

Heißt ungeordnete Paare nur, dass sowohl die Menge ({0,1},{0,2}) als auch {{1,0},{2,0}}, {{1,0},{0,2}} und {{0,1},{2,0}}
Ist die Menge dann alle dieser Mengen gleichzeitig oder ist sie nur eins davon, aber beliebig?

30.10.2011, 16:13

Gast11022013

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RE: Mengenlehre Vereinigung
Nagel mich nicht drauf fest, aber ich würde meinen, da einfach die Reihenfolge egal ist, umfasst z.B. (wenn es sich wirklich um ungeordnete Paare handelt)

$\begin{eqnarray*} \left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$

die Tupel (0,1) und (1,0).

30.10.2011, 16:28

Jagun

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Nuja deine Verion klingt um einiges schöner und mathematischer als meine :-)
wäre es dann richig wenn ich aufschreibe:
$\begin{eqnarray*} K\cup L={{(0,1),(1,0),(0,2),(2,0)}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K\cap L={(0,1),(0,2)} \end{eqnarray*}$

Es sind jeweil noch geschweifte Klammern um beide Mengen außen...

Wäre es dann auch richtig, wenn ich schreibe KuL ={{0,1},{0,2}}
Nur so rein Informativ

Vielen Dank nochmal!

30.10.2011, 16:31

Gast11022013

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Ich würde das alles mit Freude

Freude

beantworten.

Bei Günther Jauch würde ich sagen:

"Mit 90 %-iger Sicherheit".

Da dies aber immer viele Mitleser hat, greift sicher jemand korrigierend ein, wenn ich Dir Quatsch geschrieben haben sollte.

Das täte mir dann leid.

30.10.2011, 16:39

Jagun

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Ich danke dir herzlichst:-)
Stimmt auch das mit: KuL ={{0,1},{0,2}}?

Und Wenn ich begrüngen will dass $\begin{eqnarray*} K\neq L \end{eqnarray*}$ ist, reicht es dann, wenn ich schreibe, dass L eine echteTeilmenge von K ist also $\begin{eqnarray*} L\subset K \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2011, 16:40

Gast11022013

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Unter Vorbehalt beantworte ich auch das mit Freude

Freude

.

30.10.2011, 16:43

Jagun

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Das ist wundervoll :-)
Damit hast du mir sehr geholfen
Ich danke dir vielmals!

30.10.2011, 16:44

Black

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Die Lösung stimmt so nicht, nach der Notation von Jagun ist K eine Menge von Mengen, und L eine Menge die Tupel enthält, die Vereinigung kann dann nicht (nur) aus Tupeln bestehen

30.10.2011, 16:44

Gast11022013

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Lieber nicht zu früh danken. Big Laugh

Big Laugh

30.10.2011, 16:48

Iorek

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Zitat:

Original von Dennis2010
Da dies aber immer viele Mitleser hat, greift sicher jemand korrigierend ein, wenn ich Dir Quatsch geschrieben haben sollte.

Dann mache ich das hier mal, das ist mehr als Quatsch was hier steht.

$\begin{eqnarray*} K:= \{\{0,1\},\{0,2\}\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge mit zwei Elementen, nämlich $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{0,2\} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} L:=\{(0,1),(0,2)\} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls eine Menge mit zwei Elementen, nämlich $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} \{a,b\}\neq (a,b) \end{eqnarray*}$ , ein Tupel und eine Menge mit zwei Elementen ist verschieden! Ein Tupel ist ein Element aus dem Kreuzprodukt zweier Mengen. Somit umfasst $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ auch nicht die beiden Tupel $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} K\cup L = \{x~|~x\in K \vee x\in L\} \end{eqnarray*}$ , du nimmst dir also einfach alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und trägst die zusammen in eine Menge ein: $\begin{eqnarray*} K\cup L =\{\{0,1\},\{0,2\},(0,1),(0,2)\} \end{eqnarray*}$ .

30.10.2011, 16:51

Gast11022013

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Ich sage nochmal sorry.

Ich habe sowas ja schon geahnt. unglücklich

unglücklich

30.10.2011, 16:52

Jagun

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Dennis : Ja scheint so :-) Mist aber auch, war mit dem Ergebnis zu frieden :-)

Zu Black:
Also ist K dann die Menge von 3 Mengen und nicht die Menge von 3 ungeordneten Paaren?
Demnach wäre KnL = leere Menge
KuL = {{0,1},{0,2},{0,3},{(0,1),(0,2),(0,3)}}

Woran sehe ich denn dann den unterschied, ob K eine menge von drei Mengen ist oder eine menge mit drei ungeordneten Paaren?

30.10.2011, 16:54

Jagun

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Hupps der Beitrag ging ja schon weiter :-)
Vielen Dank erstmal Black für deine Antwort.
Ist der Schnitt der beiden Mengen dann trotzdem die leere menge?

30.10.2011, 16:58

Iorek

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Eine Menge $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \end{eqnarray*}$ ist ein ungeordnetes Paar, die Begriffe sind hier äquivalent.

Wenn du noch erklären kannst, wo $\begin{eqnarray*} \{0,3\},(0,3) \end{eqnarray*}$ herkommen, wäre die Vereinigung richtig. Der Schnitt ist in diesem Fall leer, ja.

30.10.2011, 17:14

Jagun

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ui die antwort war ja von dir und nicht von black, dann natürlich auch dir vielen Dank für die Antwort.

Aber hast du das nicht hiermit schon erklärt, wo die herkommen?

Zitat:

Original von Iorek

$\begin{eqnarray*} K:= \{\{0,1\},\{0,2\}\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge mit zwei Elementen, nämlich $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{0,2\} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} L:=\{(0,1),(0,2)\} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls eine Menge mit zwei Elementen, nämlich $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} \{a,b\}\neq (a,b) \end{eqnarray*}$ , ein Tupel und eine Menge mit zwei Elementen ist verschieden! Ein Tupel ist ein Element aus dem Kreuzprodukt zweier Mengen. Somit umfasst $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ auch nicht die beiden Tupel $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

Oder meinst du damit was anderes? Nein moment, eigentlich weiß ich gerade ncht, was ich hier erklären soll.
Ich hätte jetzt zur beantwortung der Aufgabe bei deiner Antwort noch {0,3} und (0,3) eingefügt.
Dazu geschrieben, dass der Schnitt eine leere menge ist.
Und das K ungleich L, da ja da weiß ich noch nciht so ganz was ich schreibe :-/ -bin jetzt eher verwirrt

30.10.2011, 17:32

Black

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Zitat:

Original von Jagun

Demnach wäre KnL = leere Menge
KuL = {{0,1},{0,2},{0,3},{(0,1),(0,2),(0,3)}}

Das passt nicht ganz, wenn dann wäre $\begin{eqnarray*} K \cup L=\{\{0,1\},\{0,2\},\{0,3\},(0,1),(0,2),(0,3)\} \end{eqnarray*}$

Wobei dann immer noch die Frage ist woher (0,3) und {0,3} kommen, denn so wie du K und L am Anfang definiert hast enthalten sie (0,3) und {0,3} nicht (oder hast du dich da vertipp?).

30.10.2011, 17:35

Iorek

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Zitat:

Original von Jagun
Ich hätte jetzt zur beantwortung der Aufgabe bei deiner Antwort noch {0,3} und (0,3) eingefügt.

Ja, aber wie kommst du darauf? Diese finde ich weder in der Menge K noch in L.

30.10.2011, 17:51

Jagun

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Achso, ja hab meinen Fehler gerade endeckt.
Ich hatte die Aufgabe hier falsch reingestellt, dass ist mir aber hier zu spät aufgefallen. Hab mir aber dann gedacht, dass es für die beantwortnung meiner Frage egal sei, ob (0,3) und {0,3} noch mit drin stehen oder nicht.
Also in der originalaufgabenstellung ist das jeweils noch ein Tupel bzw. Element von den Mengen :-)
Jetzt verstehe ich das auch :-)

Wenn ich aber jetzt beweisen will, dass $\begin{eqnarray*} K\neq L \end{eqnarray*}$ ist.
Wie kann ich das aufschreiben?
Würde es reichen, wenn ich schreibe, wie du gesagt hast, dass {0,1} und (0,1) nicht dasselbe ist.Also dass L eine Menge aus dem Kreuzprodukt zweier Mengen ist und K die Vereinigung von drei Teilmengen?

Oder ist das falsch? Bzw. müsste ich noch mehr schrieben?

30.10.2011, 17:56

Iorek

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$\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ keine Menge aus dem Kreuzprodukt zweier Mengen.

Dass $\begin{eqnarray*} K\neq L \end{eqnarray*}$ ist, kannst du direkt aus $\begin{eqnarray*} K\cap L=\emptyset \end{eqnarray*}$ schließen. $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ haben kein einziges Element gemeinsam, dann können sie erst Recht nicht gleich sein (Ausnahme wäre der Fall $\begin{eqnarray*} K=L=\emptyset \end{eqnarray*}$ , der hier ja aber nicht vorliegt).

30.10.2011, 18:04

Jagun

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Ow, natürlich. Da hätt ich aber auch selber drauf kommen können :-/

Vielen Dank!

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