Pyramidenzahlen herleiten

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flowrider Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramidenzahlen herleiten
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit figurierten Zahlen. Dazu möchte ich eine allgemeine Formel für die n-te quadratische Pyramidenzahl herleiten. Bekanntermaßen ist die Lösung ja n(n+1)(2n+1) / 6. Aber wie komme ich zu dieser Formel, ohne Tetraederzahlen zu verwenden?

Meine Ideen:
Die quadratischen Pyramidenzahlen ergeben sich ja aus einer Summe von Quadratzahlen. Man hat also 1²+2²+3²+...+n² und baut daraus seine Pyramide. Großartig umformen kann man da ja nichts mehr, also habe ich es anschaulich versucht. Meine Idee war, das ganze erstmal mit LEGO-Steinen zu bauen und auf irgendeinen bereits bekannten Körper (vermutlich ein Quader) zurückzuführen. Sprich: Mehrere Pyramiden zu nehmen, sie zu einem Quader o.ä. zusammenzusetzen und das ganze dann durch die Anzahl der Pyramiden zu teilen... Aber wie ich das hinkriegen soll, ist mir schleierhaft. Habt ihr da Tipps oder gehe ich einen völlig falschen Weg?

Vielen Dank!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramidenzahlen herleiten
Hallo,

wenn du zB weißt, dass als Lösung ein Polynom 3-ten Grades herauskommt, reichen dir wenige Stützstellen aus; du brauchst dann bloß das da durchgehende Polynom ausrechnen.

Ansonsten hast du Induktion.

Abakus smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte es so machen:

Man baut sich einen Treppenkörper aus quaderförmigen Stufen, jede von der Höhe . Die unterste Stufe hat ein Quadrat der Kantenlänge als Grundfläche, die nächste Stufe eines der Kantenlänge usw., bis das Ganze schließlich oben mit einem Würfel der Kantenlänge abschließt. Die Stufen sollen, während man nach oben geht, an allen Seiten gleichmäßig um jeweils eine halbe Einheit einrücken. Man bekommt so einen symmetrischen pyramidenartigen Treppenkörper vom Volumen



Diesem Treppenkörper wird nun eine kleinstmögliche gerade quadratische Pyramide umbeschrieben. Die Kante ihres Grundquadrates ist an beiden Enden eine halbe Einheit länger als die Grundkante der untersten Treppenstufe, hat also die Länge . Das ist auch die Höhe der Pyramide. Diese hat somit das Volumen



Sobald man das Volumen des Differenzkörpers kennt, kann man berechnen:



Jetzt betrachtet man die Teilpyramide, die ab der Höhe über dem Boden beginnt. Zur Bestimmung ihres Volumens muß man in der Formel für oben nur durch ersetzen: . Die Differenz von und liefert das Volumen des Pyramidenstumpfes, der zur untersten Stufe des Treppenkörpers gehört. Nimmt man vom Pyramidenstumpf die Stufe selbst auch noch weg, erhält man dasjenige Stück der Pyramide, das vor der untersten Stufe des Treppenkörpers übersteht. Es hat das Volumen



Für das überstehende Stück der nächsten Stufe muß man durch ersetzen. Und so geht das weiter. Allgemein erhält man



als Volumen für das -te überstehende Stück. Das gilt auch noch für und liefert das Volumen der auf dem Treppenkörper ganz oben sitzenden kleinen Pyramide. Jetzt kann man aufsummieren:





Jetzt die Formel für die Dreieckszahlen verwenden und alles oben in einsetzen.

Das ist die Lösung, die mir eingefallen ist. Ob man mit irgendwelchen geometrischen Tricks den Treppenkörper so umbauen kann, daß man sein Volumen "sofort sieht", weiß ich nicht. Ich meine aber, so etwas vor vielen Jahren schon einmal gesehen zu haben.
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