Möglichkeiten 5 mal Würfeln, 2 mal die selbe Zahl

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Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »
Möglichkeiten 5 mal Würfeln, 2 mal die selbe Zahl
Aufg. "Bestimme die Anzahl aller Möglichkeiten, dass bei fünfmaligem Würfeln genau zweimal dieselbe Zahl oben aufliegt."

Ich weiß nicht, wieso mir Kombinatorik/Stochastik so viele Probleme bereitet... Schaffe es wieder nicht die Aufgabe zu lösen.

Ehrlich gesagt habe ich auch absolut keinen Ansatz, weil ich mir das alles einfach noch nicht vorstellen kann. Ich habe mit Hilfe von anderen Aufzeichnungen aus früheren Vorlesungen ein bisschen was zusammengesucht, aber ob das stimmt und vor allem, WIESO es evtl. stimmt, das ist mir ein Rätsel.

Also die Vorüberlegung bis jetzt ist, dass ich bei 5-maligem Würfeln ja eine Menge von 5 Elementen bekomme, von denen zwei Elemente gleich sein sollen. Die Anzahl der Möglichkeiten wäre dann ja aus der 5-elementigen Menge eine 2-elementige Menge zu wählen, also . Aber da kann ja noch nicht Schluss sein?

Was müsste ich dann weiter machen/überlegen?

Ich hoffe, dass ich bald endlich hinter das Geheimnis der Kombinatorik komme! Big Laugh

Edit: Also mir wird grade klar, dass ich irgendwie noch einbringen muss, dass ich ja die Zahlen 1-6 treffen kann und dann verschiedene Permutationen bekomme evtl? :-/

Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Möglichkeiten 5 mal Würfeln, 2 mal die selbe Zahl
Zitat:
Original von Mike1707
Aufg. "Bestimme die Anzahl aller Möglichkeiten, dass bei fünfmaligem Würfeln genau zweimal dieselbe Zahl oben aufliegt."


Wie viele Möglicheiten hast Du jeweils pro Wurf?

Nimm' beispielsweise an Du würdest die Zahl schon bei den ersten beiden Würfen werfen.
 
 
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Also pro Wurf habe ich jeweils die Möglichkeiten 1,2,3,4,5,6 sprich 6 Möglichkeiten und bei 5 Würfen wären das dann insgesamt 6^5 Möglichkeiten, oder?

Also das müsste dann die Anzahl aller Möglichkeiten sein?

Zitat:
Nimm' beispielsweise an Du würdest die Zahl schon bei den ersten beiden Würfen werfen.

In wie fern hilft mir das?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein hast Du natürlich pro Würfelwurf jeweils 6 Möglicheiten.

Aber hier hast Du ja vorgegeben, wie zwei Würfe aussehen sollen: Du sollst ja genau zwei Mal zum Beispiel eine 5 werfen, dann hast Du ja für die beiden Würfe nicht mehr volle 6 Möglichkeiten, sondern nur noch eine einzige!



Nimm' also zum Beispiel mal an, Du sollst 5 Mal den Würfel werfen und genau zwei Mal die 5 werfen und Du wirfst die beiden Fünfen in den ersten beiden Würfen.


Wie viele Möglichkeiten hast Du für

Wurf 1
Wurf 2
Wurf 3
Wurf 4
Wurf 5

?
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich es richtig verstehe, da ich ja direkt die 5 treffen will in Wurf 1: 1 Möglichkeit, das selbe für Wurf2: 1 Möglichkeit.

Dann für Wurf 3,4,5 jeweils volle 6 Möglichkeiten?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja korrekt.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mike1707

Dann für Wurf 3,4,5 jeweils volle 6 Möglichkeiten?
Nein.

in der Aufgabenstellung steht:
Zitat:
Würfeln genau zweimal dieselbe Zahl oben aufliegt."
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

OHJE! Ja sorrry!!


Das habe ich überlesen!!


Du darfst ja dann nicht nochmal wieder in den Würfen 3, 4 und 5 die 2 werfen!
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay habe jetzt mal weiter nachgedacht.

Muss ich dann jetzt noch einbringen, dass ich die 5 auch beim 3. und 5. Wurf zB. oder 1. und 3. treffen könnte und dass ich das selbe dann mit 1, 2, 3, 4, 6 machen könnte?

Edit: Ach shit klar, darf ich dann ja wirklich nicht mehr... Dann bleiben mir halt bei Wurf 3 bis 5 nur 5 Möglichkeiten...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal lies bitte die Korrektur von Math1986.

Da war mir ein böser Schlampigkeitsfehler unterlaufen! Sorry!



Du kannst ja mal überlegen, ob da ein anderes Ergebnis bei rauskäme?
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Thema, hab ja direkt verstanden was wir falsch gemacht haben smile

Also im Prinzip kommt da kein anderes (Teil-)Ergebnis raus, aber muss ich nicht beachten, dass z.B.

5, 5, 2, 4, 3 eine andere Möglichkeit als 3, 4, 5, 2, 5 ist?
kuerbis Auf diesen Beitrag antworten »

natürliich musst du das beachten

(55xxx) wobei x jeweils 1,2,3,4,6 sein kann

(5x5xx)

und so weiter
kuerbis Auf diesen Beitrag antworten »

kann es sein dass es

möglichkeiten sind??
kuerbis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Möglichkeiten 5 mal Würfeln, 2 mal die selbe Zahl
achnee, ich glaube das sind

moeglichkeiten
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh das kann ich dir nicht sagen, sonst würde ich nicht fragen! Kannst du vielleicht erklären wie du darauf gekommen bist? smile
kuerbis Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß ja nich ob es stimmt

ich hab mir gedacht

zuerst hat man möglichkeiten zwei würfel aus fünf würfel anzuordnen und dann das was du oben schon geschrieben hast möglichkeiten für die würfelergebnisse

ist so meine idee
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm das macht schon Sinn!

Erstmal die Möglichkeiten, die 2 gleichen unter den 5 zügen zu plazieren, dann die Permutationen mit 2! und dann die restlichen Stellen verteilen.

Wäre nice wenn uns das jemand bestätigen könnte! =)

Grüße
kuerbis Auf diesen Beitrag antworten »

erklärung nochmal:

erstmal kann man sich doch vorstellen man würde zwei würfel aus fünf würfeeln ziehen ohne zurücklegen und mit reihenfolge

da komme ich halt auf

und dann die möglichkeiten für das was die würfel anzeigen können/ dürfen

das sind eben


ja wäre gut wenn jemand sagen könnte obs oky ist!


vielleicht nimmt man bei den würfeln aber auch 2 ziehen aus 5 ohne zurücklegen und ohne reihenfolge weil es ja egal ist welcher der würfel (die zum beispiel jeweils eine 5 anzeiogen) wo liegt. dann hätte man

eben das ganze ohne den faktor 2!
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt so nicht ganz.

Es gibt zum einen Möglichkeiten die 2 Gleichen anzuordnen.
Dann hat man noch 6 Möglichkeiten für die Wahl der Zahl die doppelt sein soll und schließlich noch die Möglichkeiten für die 3 verbleibenden Würfe.
Also insgesamt
kuerbis Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe jeden faktor bis auf den faktor bzw. ich verstehe den schon aber das ist doch ziehen ohne zurüclegen ohne reihenfolge oder?

wieso gilt das für die beiden würfel mit der gleichen zahl?

könntest du das vielleicht doch nochmal erklären bitte?


thx
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

An sich kann man die Berechnung folgendermaßen organisieren:


1) Anzahl der Wurfergebnisse ohne Berücksichtigung der Wurfreihenfolge, d.h. einfach nur die "Zahlenmenge", die geworfen wird:

Da kann man erstmal die Augenzahl auswählen, die doppelt vorkommt:

Aus den restlichen 5 Augenzahlen wählt man die 3 restlichen aus (ohne Zurücklegen!):

Macht insgesamt Möglichkeiten.


2) Jedes Wurfergebnis aus 1) kann nun noch permutiert werden. Wegen der einen doppelten Augenzahl sind das jeweils Permutationen.


1),2) ergibt dann als endgültige Lösung Wurfergebnisse.



P.S.: Beim Weg von Black werden auch Wurfergebnisse wie 1,1,2,2,2 mitgezählt - so würde ich die Aufgabe nicht auffassen.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist ziehen ohne zurücklegen, ohne Reihenfolge.
Man kann es sich so vorstellen: Man würfelt gleichzeitig mit 5 Würfeln, und weist anschließend den "Plätzen" 1,2,3,4,5 jeweils einen Würfel zu.
Und aus der Menge der verfügbaren Plätze zieht man natürlich ohne zurücklegen.

@Hal bei 1,1,2,2,2 kommt doch auch eine Zahl doppelt vor. Ergebnisse der Art müsste man nur dann entfernen, wenn die Aufgabe zusätzlich verlangt hätte dass keine Zahl mehr als 2mal vorkommen darf.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich schon sagte:

Zitat:
Original von HAL 9000
so würde ich die Aufgabe nicht auffassen.

Du interpretierst das eben anders - da zeigt sich wieder die Mehrdeutigkeit so ungenauer Formulierungen wie hier in der Aufgabenstellung. Augenzwinkern


P.S.: Deine Lösung stimmt aber auch nicht im Sinne deiner Interpretation, denn du zählst dann z.B. Wurffolgen wie 1,1,2,2,3 doppelt:

Einmal als 1,1,2,2,3 und dann wieder als 1,1,2,2,3 .
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, schwer zu sagen was genau jetzt gemeint ist. Aber dank dem Wort "genau" in der Aufgabenstellung, denke ich dass sich Ergebnisse wie 22333 direkt ausschließen würden, weil das dann nicht mehr eindeutig "genau" zwei gleiche sind, weil da müsste man entscheiden welche Zahl (2 oder 3) man als die "doppelte" auffasst und wenn man dann 3 nehmen würde, wäre sie ja nicht mehr genau zwei mal da. Also keine Ahnung, ich sehe das ein wenig wie HAL 9000, weil sonst ist es mehrdeutig!

HAL, ich hab noch eine Frage... Verstehe deinen ersten Teil, aber wieso Permutiert man die Ergebnisse von 1 mit ?

Und wo genau steckt in deiner Rechnung drin, dass man fünf mal würfelt?

Vielleicht wirds mir dann klarer! smile

Edit: Und jetzt sehe ich irgendwie auch nicht mehr, wo das drin steckt, dass eine davon doppelt vorkommt. mit 6 über 1 wählt man doch nur aus der 6 elementigen Menge eine 1 elementige Teilmenge aus. Und dann wie viele Möglichkeiten es gibt. Also ich verstehe das damit so, dass es insgesamt 6 verschiedene "Würfelergebnisse" geben kann. Sprich 1,2,3,4,5 oder 6 kann angezeigt werden. Ist das falsch?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich verstehe (wie kuerbis) nicht, wieso man die Reihenfolge bei den zwei gleichen Würfeln (so wie Black das meinte) nicht beachtet.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal
Ja da hast du recht, da war ich zu vorschnell habs korrigiert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mike1707
aber wieso Permutiert man die Ergebnisse von 1 mit ?

"Permutationen mit Wiederholung" - schlag das mal nach.

Zitat:
Original von Mike1707
Und wo genau steckt in deiner Rechnung drin, dass man fünf mal würfelt?

Schlecht nachgedacht von dir: In der Auswahl (einmal ausgewählt für die doppelte Augenzahl - macht 2 Augen - und dann noch dreimal ausgewählt für die einzelnen Augen - macht 3 weitere Augen, und es ist 2+3=5) und in der Permutation.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich sehe das so:

Es sollen eben nur zwi Würfel die gleiche Zahl zeigen. Die anderen 3 müssen demnach unterschiedliche Zahlen anzeigen.


Dann hat man aber für die 3 Würfel, die nicht die beiden gleichen Zahlen zeigen, Möglichkeiten.
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man ich bin total verwirrt! Big Laugh Also ich bin der Meinung, dass die Aufgabe so gelöst werden muss, dass GENAU zwei gleich sind und die restlichen unterschiedlich!

Ps. Hab mal "Permutationen mit Wiederholung" nachgeschlagen. Nach "http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/S4/Kap3_Kombinatorik/K3_2_Permutationen/K3_2_Permutationen.html" müsste das dann doch aber durch 2! geteilt werden, oder? Weil jeweils zwei gleich sind und wenn die untereinander vertauscht werden, man das nicht berücksichtigen soll.

Aber welcher Ansatz ist jetzt richtig, wenn man die Aufgabe so auffasst wie ich oben geschrieben habe? Demnach der von Black, oder? Nur ich kapiere dann nicht, wieso man dort nicht mehr permutieren muss?
kuerbis Auf diesen Beitrag antworten »

meine verwirrung ist jetzt auch maximal. unglücklich
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Eure Intepretation der Aufgabe war schon richtig (hab meine Rechnung oben korrigiert).
Das Ergebnis von Hal's Rechnung und meiner ist das Gleiche, nur war seine Vorgehensweise etwas anders - da sollte jeder immer das wählen was er als intuitiv empfindet
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mike1707
Ps. Hab mal "Permutationen mit Wiederholung" nachgeschlagen. Nach "http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/S4/Kap3_Kombinatorik/K3_2_Permutationen/K3_2_Permutationen.html" müsste das dann doch aber durch 2! geteilt werden, oder?

Und was steht hier:

Zitat:
Original von HAL 9000
2) Jedes Wurfergebnis aus 1) kann nun noch permutiert werden. Wegen der einen doppelten Augenzahl sind das jeweils Permutationen.

Erst lesen, dann beschweren ... falls es noch Grund für die Beschwerde gibt. Augenzwinkern
Mike1707 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Mike1707
Ps. Hab mal "Permutationen mit Wiederholung" nachgeschlagen. Nach "http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/S4/Kap3_Kombinatorik/K3_2_Permutationen/K3_2_Permutationen.html" müsste das dann doch aber durch 2! geteilt werden, oder?

Und was steht hier:

Zitat:
Original von HAL 9000
2) Jedes Wurfergebnis aus 1) kann nun noch permutiert werden. Wegen der einen doppelten Augenzahl sind das jeweils Permutationen.

Erst lesen, dann beschweren ... falls es noch Grund für die Beschwerde gibt. Augenzwinkern


Ohh! Sorry! Nehme alles zurück! Gott

Edit: Ah okay, hätte mal nachrechnen sollen, ob dasselbe rauskommt. Echt verwirrend, dass man das auf so verschiedene Weisen lösen kann. Macht mir aber nur einmal mehr deutlich, dass ich das Thema noch immer nicht verstehe und da einiges zu nachholen ist. Dank an die Abiturlehrerin, die das Thema Stochastik quasi rausgelassen hat! ^^
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