Alle Lösungen einer DGL

30.10.2011, 16:06	silvio	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Lösungen einer DGL Hi! Meine Aufgabe: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{dw}{du} = - \frac{3u+4w+1}{4u+2w+3} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Diese DGL ist vom Typ $\begin{eqnarray} w' = f (\frac{au + bw + c}{\alpha u + \beta w + \gamma}) \end{eqnarray}$ Das lineare Gleichungssystem 3u + 4w + 1 = 0 4u + 2w + 3 = 0 besitzt die Lösung u = -1, w = 0,5. Nun definiere ich $\begin{eqnarray} \overline{w} = w - 0,5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{u} = u + 1 \end{eqnarray}$ und durch $\begin{eqnarray} \overline{w} (\overline{u}) := w (\overline{u} - 1) - 0,5 \end{eqnarray}$ wird eine Lösungskurve beschrieben. Dann gilt die DGL $\begin{eqnarray} \frac{d \overline{w}}{d \overline{u}} = w' (\overline{u} - 1) = - \frac{3 (\overline{u} - 1) + 4 (\overline{w} (\overline{u}) + 0,5) +1}{4 (\overline{u} - 1) + 2 (\overline{w} (\overline{u} + 0,5) + 3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = - \frac{3 + 4 \frac{\overline{w}}{\overline{u}}}{4 + 2 \frac{\overline{w}}{\overline{u}}} \end{eqnarray}$ Diese DGL ist jetzt vom Typ $\begin{eqnarray} \overline{w}' = f (\frac{\overline{w}}{\overline{u}}) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} g (\overline{u}) = \frac{\overline{w} (\overline{u})}{\overline{u}} \end{eqnarray}$ ergibt sich dann die DGL $\begin{eqnarray} g' = \frac{f(g) - g}{\overline{u}} = \frac{- \frac{-2g^{2} + 3}{2g + 4}}{\overline{u}} \end{eqnarray}$ . Diese ist jetzt zu lösen und dann ergibt sich durch Rückwärtseinsetzen die Lösung der eigentlichen Aufgabe. Ich bräuchte mal eine kleine Rückmeldung, ob mein Weg bis hier stimmt und andere die selben Gleichungen erhalten. Würde mich über jede Hilfe freuen.

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