Newton-Potential+Kugelschale

30.10.2011, 17:28

taugenix

Newton-Potential+Kugelschale

Nabend,
habe einige Verständnisprobleme mit der Aufgabe im Anhang.
"...F sei hier = $\begin{eqnarray*} \int_K \! \frac{\rho (y)}{| y-x | } \, dy \end{eqnarray*}$

in 5.1 steht bereits man soll kugelkoordinaten verwenden, also:
$\begin{eqnarray*} x=rsin(\theta) cos(\theta) y=rsin(\theta)sin(\phi) z=rcos(\theta) \end{eqnarray*}$
und der Funktionaloperator ist:
$\begin{eqnarray*} dV=r²sin(\theta)d\phi d\theta dr \end{eqnarray*}$
Mit |y-x| = $\begin{eqnarray*} rsin(\theta)\sqrt{1-sin(2\phi)} \end{eqnarray*}$
folgt:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_K \! \frac{\rho(x)}{| y-x| } \, dy =\int_b^\infty \! \int_0^{2\pi} \! \int_0^{2\pi} \! \frac{g(|x| )}{rsin(\theta)\sqrt{1-sin(2\phi)} } * r²sin(\theta) d\phi \, d\theta \, dr \ \end{eqnarray*}$
rsin(theta) kann ich noch kürzen, aber hier hörts dann auch schon auf.
Wie soll ich das nun integrieren?
g(x) ist doch garnicht gegeben, man weiss nur dass es stetig ist. Oder kann ich es vor das Integral ziehen, da es nicht von y sondern von x abhängt?
Bevor ich wieder mehrere stunden sinnlos rumrechne würde ich gerne wissen, wie das nun funktioniert. Habe das integral bereits mit wolframalpha berechnen lassen und das sieht doch schon sehr kompliziert aus,weswegen ich annehme ich bin auf dem falschen weg.
Weiss jemand rat?

Mfg david

30.10.2011, 18:38

Wetal

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hi, so wie ich das sehe, bringst du sehr viele sachen durcheinander. zunächst soll $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} |x| > b \end{eqnarray*}$ sein.

die parametrisierung bezieht sich nun auf die integrationsvariable $\begin{eqnarray*} y = (y_1, y_2, y_3)^T \end{eqnarray*}$ mit deiner schreibweise:

$\begin{eqnarray*} y_1 = r \sin(\theta) \cos( \varphi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2 = r \sin(\theta) \sin( \varphi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_3 = r \cos( \varphi) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} \varphi \in (0, 2\pi), \ \theta \in (0, \pi), \ r\in (a,b) \end{eqnarray*}$

dann stimmt auch $\begin{eqnarray*} |y-x| \end{eqnarray*}$ nach deiner umschreibung nicht. zusätzlich hast du 2 verschiedene versionen von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ angegeben. einmal ist im integral $\begin{eqnarray*} \rho(x) \end{eqnarray*}$ und im anderen ist es $\begin{eqnarray*} \rho(y) \end{eqnarray*}$ .

30.10.2011, 19:36

taugenix

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Zitat:

Original von Wetal
hi, so wie ich das sehe, bringst du sehr viele sachen durcheinander. zunächst soll $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} |x| > b \end{eqnarray*}$ sein.

die parametrisierung bezieht sich nun auf die integrationsvariable $\begin{eqnarray*} y = (y_1, y_2, y_3)^T \end{eqnarray*}$ mit deiner schreibweise:

$\begin{eqnarray*} y_1 = r \sin(\theta) \cos( \varphi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2 = r \sin(\theta) \sin( \varphi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_3 = r \cos( \varphi) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} \varphi \in (0, 2\pi), \ \theta \in (0, \pi), \ r\in (a,b) \end{eqnarray*}$

dann stimmt auch $\begin{eqnarray*} |y-x| \end{eqnarray*}$ nach deiner umschreibung nicht. zusätzlich hast du 2 verschiedene versionen von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ angegeben. einmal ist im integral $\begin{eqnarray*} \rho(x) \end{eqnarray*}$ und im anderen ist es $\begin{eqnarray*} \rho(y) \end{eqnarray*}$ .

das mit dem durcheinanderbringen ist sehr gut möglich. Finde aber die aufgabe auch extrem verwirrend. Da im Text steht: "Sei F wie in §4,also der aufgabe zuvor. Dort ist F so definiert wie ich ganz oben geschrieben hab mit rho(y) im Zähler. Gleichzeitig wird die Funktion rho in 5.1. neu definiert mit rho(x)=g(|x|)
Aber deine tips haben mir schon etwas geholfen, jetzt macht das mit |y-x| auch einen sinn ^^.Trotzdem bleibt das rho(x) stehen
ich versuchs mal weiter
ich versuchs mal weiter

30.10.2011, 20:07

Wetal

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Zitat:

Original von taugenix
das mit dem durcheinanderbringen ist sehr gut möglich. Finde aber die aufgabe auch extrem verwirrend. Da im Text steht: "Sei F wie in §4,also der aufgabe zuvor. Dort ist F so definiert wie ich ganz oben geschrieben hab mit rho(y) im Zähler. Gleichzeitig wird die Funktion rho in 5.1. neu definiert mit rho(x)=g(|x|)
Aber deine tips haben mir schon etwas geholfen, jetzt macht das mit |y-x| auch einen sinn ^^.Trotzdem bleibt das rho(x) stehen
ich versuchs mal weiter
ich versuchs mal weiter

sagen wirs mal so: nur weil ich die funktion $\begin{eqnarray*} f(y) := y^2 \end{eqnarray*}$ über die variable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ definiert habe, heißt es nicht dass ich nun immer $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ schreiben muss.

so ist dann z.b.

$\begin{eqnarray*} \int f(y) \ dy = \int f(x) \ dx = \int f(\text{'beliebigeVariable'}) \ d \text{'beliebigeVariable'} \neq \int f(y) \ dx = \int f(x) \ dy \end{eqnarray*}$

ich hoffe du siehst nun auch, dass somit nur die erste definition von dir stimmt.

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_K \frac{\rho(y)}{|x-y|} \ dy \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 20:32

taugenix

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jap,seh ich ein.Bleibt aber immernoch die Frage was ich mit dem rho(y)=g(|y|) anfangen soll. ist das vllt. einfach nur m/(y1*y2*y3)? Und soll ich |y-x| mit Kugelkoordinaten rechnen? Wenn ja, rechnet man sich doch da bis zur Rente? Den Term unter der Wurzel kann man doch nie im Leben vereinfachen,sodass die ganze geschichte unendlich unübersichtlich wird.
Ich glaube da gibts immernoch einen großen denkfehler. Könnte vllt. jemand nen konkreten Ansatz beitragen? Wäre mir wirklich ne große Hilfe, da ich auch nix passendes ergoogeln konnte, bisher.
Danke für die bisherigen antworten

31.10.2011, 14:48

taugenix

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*push*
mit der hoffnung jemand ders versteht stolpert drüber

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