Äquivalenzklasse

30.10.2011, 17:29

rox

Äquivalenzklasse

Meine Frage:
Als ich habe mal eine Frage zu einer Aufgabe über Äquivalenzklassen. Ich habe hier folgende Aufgabe:
M= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times\mathbb R \end{eqnarray*}$ , N= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,f((x,y))= $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ (x,y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M
Hier sollen jetzt die Äquivalenzklassen angegeben werden.

Meine Ideen:
Ich habe jetzt schon einiges gelesen aber so richtig schlau werde ich daraus nicht.
Meine erste Überlegung war, dass die Äqui.klasse der Radius ist. Leider weiß ich nicht wie ich anfangen soll.

30.10.2011, 17:43

Leopold

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Ich vermute, daß $\begin{eqnarray*} \left( x_1 , y_1 \right) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \left( x_2 , y_2 \right) \end{eqnarray*}$ äquivalent sein soll, falls beide Paare dasselbe Bild haben, also

$\begin{eqnarray*} \left( x_1 , y_1 \right) \sim \left( x_2 , y_2 \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$

Die Äquivalenzklassen sind dann in der Tat die Urbilder $\begin{eqnarray*} f^{-1}(s) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Und mit dem Stichwort "Radius" liegst du gar nicht so schlecht. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(s) \end{eqnarray*}$ (oder penibler als $\begin{eqnarray*} f^{-1} \left( \{ s \} \right) \end{eqnarray*}$ geschrieben) eine Menge. Man kann sich diese Menge in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem schön geometrisch vorstellen.

30.10.2011, 18:13

rox

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gegeben war noch f: M-->N

30.10.2011, 18:20

Leopold

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Gegeben war sogar:

$\begin{eqnarray*} f: \ \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 18:25

rox

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kann ich dann als äquivalenzklasse sagen:

$\begin{eqnarray*} (x_{1}+y_{1})=\left\{(x_{2}+y_{2})\in M , x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right\} \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 18:35

Leopold

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Diese Schreibweise ist unverständlich.
Du warst doch schon so nahe dran. Einmal ganz anschaulich: Wo liegen alle Punkte, die unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dasselbe Bild haben?

Oder machen wir es einmal ganz konkret. Es könnte sein, daß $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(0,1) = 1 \, , \ \ f \left( \frac{3}{5} , - \frac{4}{5} \right) = 1 \, , \ \ f \left( - \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = 1 \end{eqnarray*}$

Diese drei Punkte haben alle dasselbe Bild. Es gibt aber noch Myriaden weiterer Punkte, die auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Jetzt die Frage: Was stellen alle Punkte, die auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, geometrisch dar?
Und das wäre dann die Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} f^{-1}(1) \end{eqnarray*}$ .

Und so kennzeichnet jedes $\begin{eqnarray*} s \geq 0 \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} f^{-1}(s) \end{eqnarray*}$ . Was stellt diese Äquivalenzklasse geometrisch dar?

30.10.2011, 18:47

rox

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geometrisch wird ein Kreis dargestellt

30.10.2011, 18:51

Leopold

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Richtig. Die Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} f^{-1}(1) \end{eqnarray*}$ ist der Kreis vom Radius $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Und was ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(0) \end{eqnarray*}$ ? Und was $\begin{eqnarray*} f^{-1}(15) \end{eqnarray*}$ ? Und was $\begin{eqnarray*} f^{-1}(s) \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2011, 18:55

rox

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0 vom Radius 0
15 vom Radius 15
s vom Radius s $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

nur warum schreibt man $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2011, 18:59

Leopold

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Zitat:

Original von rox
0 vom Radius 0

Richtig. Man könnte auch sagen: Der Ursprung $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von rox
15 vom Radius 15
s vom Radius s $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

Nicht richtig. (Es ist nur eine Kleinigkeit.)

Zitat:

Original von rox
nur warum schreibt man $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du diese Schreibweise nicht kennst, ist das jetzt einmal nicht wichtig. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(s) \end{eqnarray*}$ bedeutet nur, alle Elemente des Urbildbereichs einzusammeln, die auf $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.

30.10.2011, 19:02

rox

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15 vom Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{15} \end{eqnarray*}$ ?

Gibt es auch noch eine andere schreibweise?

30.10.2011, 19:09

Leopold

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Jetzt stimmt es. Beim konkret vorliegenden $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kennzeichnet $\begin{eqnarray*} f^{-1}(s) \end{eqnarray*}$ einen Kreis vom Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{s} \end{eqnarray*}$ .

Und damit wird die ganze Zeichenebene $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vollständig in konzentrische Kreise um den Ursprung zerlegt, einschließlich des trivialen Kreises, der nur aus dem Ursprung besteht. Die Kreise sind die Äquivalenzklassen.

Und das ist die Lösung der Aufgabe.

30.10.2011, 19:13

rox

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also reicht es einfach wenn man es so schreibt wie du in deinem 1. post oder muss man das noch ausführlicher schreiben?

30.10.2011, 19:40

Leopold

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Das ist die Antwort auf die Aufgabe.

Zitat:

Original von Leopold
Und damit wird die ganze Zeichenebene $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vollständig in konzentrische Kreise um den Ursprung zerlegt, einschließlich des trivialen Kreises, der nur aus dem Ursprung besteht. Die Kreise sind die Äquivalenzklassen.

30.10.2011, 19:49

rox

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danke hast mir sehr geholfen

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