Boolsche Ringe und Isomorphismus

Neue Frage »

loyloep Auf diesen Beitrag antworten »
Boolsche Ringe und Isomorphismus
Es seien eine Menge und die Potenzmenge, deren Elemente die Teilmengen von sind (einschließlich und selbst). Man zeige, dass mit und ein Boolscher Ring ist. Man realisiere einen Isomorphismus zwischen und dem Ring der Funktionen auf mit Werten im Körper .

Den ersten Teil, also den Nachweis, dass ein Boolscher Ring ist, habe ich erbracht.
Bei dem zweiten Teil, weiß ich nicht, wie ich nachweisen soll, dass die Abbildung ein Isomorphismus von Ringen ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Teilmenge von kann als Folge von Ja-Nein-Entscheidungen aufgefaßt werden. Man geht alle Elemente von durch und fragt: "Mein Freund, gehörst du zu "? Bei "Nein" setzt man eine , bei "Ja" eine . Und schon hast du die gesuchte Funktion . Dann mußt du noch zeigen, daß



einen Isomorphismus definiert.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gerade mein Problem: Wie zeige ich, dass es sich bei der Abbildung um einen Isomorphismus handelt .

Einerseits ist zu zeigen: das ein Homomorphismus ist und andererseites dass es bejektiv ist. Aber wie?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bezeichne das Mengenkomplement bezüglich durch Überstreichung. ist disjunkte Vereinigung von vier Mengen:



Zeichne dir ein Venn-Diagramm, dann leuchtet diese Zerlegung unmittelbar ein.

Jetzt unterscheide vier Fälle, je nachdem, in welchem der Bereiche liegt und vergleiche mit .

Für den Fall führe ich dir das einmal vor:

Wegen ist , wegen ist . Und wegen ist .

Daher gilt:

Und so spiele die anderen drei Fälle durch. Wenn du alles zusammen hast, kannst du

für alle

schließen. Das Pluszeichen links ist die symmetrische Differenz, das Pluszeichen rechts die Addition im Körper mit zwei Elementen. Stimmen aber zwei Abbildungen auf allen Elementen des Definitionsbereichs überein, so sind sie gleich:



Hier steht das Pluszeichen rechts für die Addition zweier Abbildungen mit Werten in einem Körper, wie man sie üblicherweise durch sogenannte punktweise Addition erklärt.

Und dann mußt du als zweites



nachweisen. Die Multiplikation links ist der Mengenschnitt, die Multiplikation rechts die Multiplikation zweier Abbildungen durch punktweise Definition. Die Gleichheit zeigst du, indem du beide Seiten an einer Stelle auswertest und die Übereinstimmung feststellst. Du kannst wieder die vier Fälle von oben durchgehen.

Für die Isomorphie brauchst du dann noch, daß der Kern von Null ist. Du mußt dir also überlegen, daß



nur für (Nullelement in ) gelten kann. Die Null steht hier für die Nullabbildung, das ist diejenige Abbildung mit für alle . Und hier wiederum ist die Null rechts die Körpernull.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Beschreibung.

Für die Addition bin ich die 4 Fälle mal durchgegangen. Allerdings funktioniert es für einen Fall nicht. Und zwar:



also

Oder habe bei der Berechnung einen Fehler gemacht?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
 
 
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du vielleicht etwas mehr zur Formel, die Du angegeben hast, sagen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein Zitat aus Deiner Aufgabenstellung im ersten Post. Und da steht auch dabei was es ist.
Im Übrigen müsste es statt:
Zitat:

heißen.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Das es aus meiner Aufgabenstellung ist und was die Formel bedeutet ist mir klar. Allerdings weiß ich nicht wie es mir weiterhilft. Ein Tipp wäre nett.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

F 2

Und um galoisseinbruder zu ergänzen. Auch hier

Zitat:
Original von loyloep



sollte es bzw. heißen. Du mußt hier sorgfältig unterscheiden, auf welcher Ebene du dich befindest.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, jetzt verstehe ich, wir befinden uns ja im Körper . Da ist ja 1 + 1 =0.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist's.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich mir denn die Menge vorstellen. Ich versuche gerade den Ausdruck zu verstehen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Boolsche Ringe und Isomorphismus
Zitat:
Original von loyloep
Man zeige, dass mit und ein Boolscher Ring ist.


Glaube an das, was du selbst sagst. Im übrigen steht das auch noch einmal ausdrücklich in meinem zweiten Beitrag.

Und unterscheide bitte die beiden Ebenen: und . So ist und .
Ein drittes Mal werde ich darauf nicht hinweisen.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Die Addition und Multiplikation habe ich nun verstanden. Jetzt bin ich noch dabei die Bijektivität des Homomorphismus zu zeigen.


Zitat:

Für die Isomorphie brauchst du dann noch, daß der Kern von Null ist. Du mußt dir also überlegen, daß



nur für (Nullelement in ) gelten kann. Die Null steht hier für die Nullabbildung, das ist diejenige Abbildung mit für alle . Und hier wiederum ist die Null rechts die Körpernull.


Meines wissens habe ich damit die INjektivität, aber noch nicht die Surjektivivtät der Abbildung nachgewiesen, oder
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »