Müssen Äquivalenzklassen immer die selbe Anzahl an Elementen besitzen?

30.10.2011, 17:56

Atomi

Müssen Äquivalenzklassen immer die selbe Anzahl an Elementen besitzen?

Wenn ich z.B. als Relation hier immer die gleichen Ziffern haben soll von{ (x1,x2,x3)|x1,x2,x3 aus {0,1,2,3}}

egal in welcher reihenfolge

Da hab ich ja zb 0 0 0 , 1 1 1, 2 2 2, 3 3 3, also schonmal 4 Klassen mit jeweils 1 Element

Und zb 001 010 100 als 1 Klasse die aber 3 Elemente besitzt

Wär das alles dann noch eine Äquivalenzrelation?

30.10.2011, 18:03

Leopold

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Wenn die vermeintlichen Äquivalenzklassen samt und sonders disjunkt sind, ihre Vereinigung aber die gesamte Menge ausmacht (man nennt das dann eine "Zerlegung" der Gesamtmenge), dann sind sie auch tatsächlich Äquivalenzklassen, es liegt also eine Äquivalenzrelation vor. Und ansonsten wird nichts verlangt. Äquivalenzklassen können also unterschiedlich viele Elemente enthalten, allerdings mindestens eines.

Übrigens läuft hier gerade eine Runde, wo es eine Äquivalenzklasse mit nur einem Element gibt, während alle anderen unendlich viele Elemente besitzen.

30.10.2011, 18:08

Atomi

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Ausgezeichnet dann hab ich nicht zuviel betrieben bei einer gleichen aufgabe nur von 0-9 smile

Gäbs da eigentlich eine effizientere Methode als sich alle möglichkeiten aufzuzählen?

Ich komme da übrigens dann auf 160 Klassen

Zitat:

Übrigens läuft hier gerade eine Runde, wo es eine Äquivalenzklasse mit nur einem Element gibt, während alle anderen unendlich viele Elemente besitzen.

PS: Ach das ist mir dann doch noch was zu Hoch Big Laugh

30.10.2011, 18:12

Leopold

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Bei welcher Aufgabe kommst du auf 160 Klassen?

30.10.2011, 18:30

Atomi

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die gleiche von oben nur anstatt 0-3, 0-9

30.10.2011, 18:37

Leopold

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Da komme ich auf $\begin{eqnarray*} 220 \end{eqnarray*}$ Klassen:

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot 1 + 90 \cdot 3 + 120 \cdot 6 = 1000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10 + 90 + 120 = 220 \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 18:48

Atomi

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Stimmt... mangut du sagst es smile

ich hatte n zahlen dreher bei allen klassen mit 3 möglichkeiten anstatt 90*3 hatte ich 30*9

Danke ^^

Aber wie bist du darauf nun so schnell gekommen? smile

30.10.2011, 19:03

Leopold

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Durch Kombinatorik. Du doch auch?

30.10.2011, 19:10

Atomi

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Ich hab mir nur eine liste aller möglichkeiten gemacht wie 00x 11x 22x ..99x und 001 002..009, usw so das ich am ende alle möglichkeiten 1x aufgezählt hatte aund dann einfach zusammen gerechnet

Wär das Kombinatorik?^^

30.10.2011, 19:20

Leopold

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Ja, das ist Kombinatorik: Sich ein System zurechtzulegen, um Dinge zu zählen, dabei nichts zu vergessen, aber auch nichts doppelt oder mehrfach zu zählen.

Natürlich gibt es für gewisse Zählprozesse Formeln. So gibt es vom Typ 000 (symbolisch für "nur gleiche") offenbar $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ Klassen, vom Typ 001 (symbolisch für "genau zwei gleiche") $\begin{eqnarray*} (10)_2 = 10 \cdot 9 = 90 \end{eqnarray*}$ Klassen und vom Typ 012 (symbolisch für "drei verschiedene") $\begin{eqnarray*} {{10} \choose 3} = 120 \end{eqnarray*}$ Klassen. Die $\begin{eqnarray*} 000 \end{eqnarray*}$ -Klassen sind einelementig, die 001-Klassen dreielementig und die 012-Klassen sechselementig.

30.10.2011, 19:25

Atomi

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Ausgezeichnet ^^
Vielen Dank für den kleinen Exkurs

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