Beweis-symetrische Differenz- Mengenlehre

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30.10.2011, 18:03	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis-symetrische Differenz- Mengenlehre Mengenlehre scheint ja schwer beliebt zu sein im Moment :-). Leider ist kein Thema dabei, welches mir weiterhelfen könnte. deswegen schreibe ich jetzt auch meine Frage: Und zwar wurde mir folgende aufgabe gestellt: beweisen Sie, dass jede Teilmenge R einer nichtleeren Menge S symmetrische Differenz zweier Teilmengen von S ist. Grundsätzlich habe ich die Aufgabe so verstanden, dass ich folgendes zeigen soll: [(R1\R2) $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ (R2\R1) = R'] $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ S Oder? Leider weiß ich ab jetzt nicht mehr wie ich vorzugehen habe :-( Kann mir vielleicht jemand ein wenig weiterhelfen? Beste Grüße Nele
30.10.2011, 18:09	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Solche Aussagen zeigt man im Allgemeinen über zwei Mengeninklusionen.
30.10.2011, 18:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt konkret $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ angeben, um damit $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ (nicht $\begin{eqnarray} R' \end{eqnarray}$ ) als symmetrische Differenz zu schreiben. Betrachte eine ähnliche Aufgabenstellung: Zeige, daß man jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ als Differenz zweier natürlicher Zahlen $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_2 \end{eqnarray}$ schreiben kann. Mögliche Lösung: $\begin{eqnarray} n = \underbrace{\left( n+1 \right)}_{n_1} - \underbrace{1}_{n_2} \end{eqnarray}$
30.10.2011, 18:32	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die beiden Antworten. Bitte entschuldigt, aber mir ist das Thema noch sehr neu und ich weiß nicht wie ich vorzugehen habe In wie fern soll ich denn R jetzt konkret angeben? Liebe Grüße
30.10.2011, 18:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst nicht $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ konkret angeben! Sondern zu vorgegebenem $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ sollst du $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ konkret angeben, so daß die Gleichung $\begin{eqnarray} R = \left( R_1 \setminus R_2 \right) \cup \left( R_2 \setminus R_1 \right) \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Nimm mein Beispiel mit der ähnlichen Aufgabenstellung. Da wird auch nicht $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ konkret angegeben, sondern es werden zu vorgegebenem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zwei Zahlen $\begin{eqnarray} n_1,n_2 \end{eqnarray}$ konkret angegeben, so daß die Bedingung der Aufgabe erfüllt wird.
30.10.2011, 18:47	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also dein Beispiel verstehe ich, dass ist ja schonmal was :-). Also soll ich R1 und R2 in bezug zueinander bringen . Aber wie mache ich das bei Mengen? Ich kann ja nicht einfach sowas wie R1=R2-(r),.. Ich versteh das noch immer nicht, wie ich dass denn auf Mengen beziehen kann :-/
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30.10.2011, 18:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ nicht in Bezug zueinander bringen, sondern in Bezug zu $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Ein Tip: Nimm für eine der beiden Mengen $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ . Für die andere hast du dann keine große Auswahl mehr, wenn die Gleichung stimmen soll.
30.10.2011, 18:59	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, also wenn ich für eine der beiden die leere Menge nehme sagen wir für R2, dann müsste R1 = R sein, oder? Wäre das damit schon ausreichend bewiesen? Danke nochmals !
30.10.2011, 19:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist es. Jetzt die Gleichung noch hinschreiben. Und auch wirklich überprüfen, daß sie gültig ist! Das ist gegebenenfalls zu dokumentieren (je nach Fortschritt der Vorlesung).
30.10.2011, 19:16	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich versuche es mal: Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} R = \left( R_1 \setminus R_2 \right) \cup \left( R_2 \setminus R_1 \right) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} R_{2} = \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow R = \left( R_1 \setminus \emptyset \right) \cup \left( \emptyset \setminus R_1 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow R_1 = R \end{eqnarray}$ Wäre das so formell richtig? Die Formel hab ich so aus meinem Skript geholt. Dort wurde sie nicht bewiesen. Muss ich jetzt noch beweisen, dass die Formel auch so stimmt?
30.10.2011, 19:23	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso und $\begin{eqnarray} R_1 , R_2 , R \subset S \end{eqnarray}$ Wenn in der Aufgabenstellung steht dass S eine nichtleere Menge sei, dann ist es aber trotzdem richtig, dass sie auch die Leere Menge enthält oder?
30.10.2011, 19:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind wir einmal hyperpenibel! $\begin{eqnarray} \color{red} R \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} \color{red} R_1,R_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R = \left( R_1 \setminus R_2 \right) \cup \left( R_2 \setminus R_1 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \color{red} R_1 = R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \color{red} R_2 = \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \color{red} \left( R \setminus \emptyset \right) \cup \left( \emptyset \setminus R \right) = R \cup \emptyset = R \end{eqnarray}$ Das vollendet den Beweis. So oder ähnlich würde ich es aufschreiben. Trau dich, die deutsche Sprache zu verwenden. Sonst werden Beweise unverständlich. Und von den Teilmengen von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ wird ja nichts weiter verlangt. Die dürfen ruhig leer sein.
30.10.2011, 19:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja easy...
30.10.2011, 20:16	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Leopold: Ich danke dir sehr sehr herzlich. Du hast mir ein wenig Licht ins Dunkel gebracht :-). Vielen lieben Dank dafür!!! Zu Dennis 2010: Will sich da jemand unbeliebt machen ;-)! Ich bin kein Student im 5 Semester aufwärts. Ich finde sowas nicht einfach und bin über diese Hilfe unendlich Dankbar! Einen wunderschönen Abend euch noch!
30.10.2011, 20:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte das gar nicht abfällig. Wie Du bemerkt haben dürftest, hatte ich selbst oben einen anderen Beweisweg vor Augen und habe deswegen nur meine Verwunderung darüber geäußert, wie einfach der Beweis ist. Also bitte keine Unterstellungen.
30.10.2011, 20:29	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, da hast du dich aber gerade noch so gerettet :-),... dann unterstelle ich dir natürlich garnichts :-) Dann erst Recht noch einen schönen abend dir!! :-)
30.10.2011, 22:47	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ihr Lieben, Ich hab doch nochmal eine Frage. Könnte ich es nicht auch wie folgt beweisen: nehmen wir an R beinhalte die menge a1, a2, a3 und R1 die mengen a1, a2, a4 und R2 die menge a3,a4, dann geht das auch. man muss nur noch S definieren z.b. es ist die menge von a1,a2,a3,a4,a5. dann geht das doch auch, oder? Also sei : $\begin{eqnarray} R = \left( R_1 \setminus R_2 \right) \cup \left( R_2 \setminus R_1 \right) \end{eqnarray}$ erfüllt. Oder ist das falsch?
30.10.2011, 22:57	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, das S vorgegeben und R beliebig ist (in der Aufgabenstellung). Du machst es aber oben genau andersrum. Also kannst du es leider nicht so machen.
30.10.2011, 23:03	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist es tatsächlich nur dadurch zu beweisen, dass ich ein R = leere menge setze?
30.10.2011, 23:09	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Spontan würde ich sagen ja. Zumindest wenn die Aussage in der Allgemeinheit gelten soll und du nichts konkreteres gegeben hast. (Mit R meinst du denke ich R_1 oder R_2 weil wie schon gesagt R ist beliebig)
30.10.2011, 23:11	Nele22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich meinte R1 oder R2, entschuldige.. Gut dann lass ich es bei leerer Menge :-) Vielen lieben Dank dir!
30.10.2011, 23:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Potenzmenge einer Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ bildet mit der symmetrischen Differenz als Verknüpfung eine abelsche Gruppe. Schreiben wir ein Pluszeichen für die Gruppenoperation, so lautet die Beziehung $\begin{eqnarray} R = R_1 + R_2 \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ bekannt und $\begin{eqnarray} R_1,R_2 \end{eqnarray}$ sind gesucht. Man kann nun $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ beliebig wählen und die Gleichung nach $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ eindeutig auflösen. Weil jedes vom neutralen Element $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ verschiedene Element die Ordnung $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ besitzt, ergibt sich $\begin{eqnarray} R_2 = R + R_1 \end{eqnarray}$ . In der Aufgabe hatten wir $\begin{eqnarray} R_1 = R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 = \emptyset \end{eqnarray}$ gewählt. Man könnte ebensogut $\begin{eqnarray} R_1 = \Omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 = R + \Omega = \Omega \setminus R \end{eqnarray}$ nehmen. Da man $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ beliebig für die Lösung vorgeben kann, besitzt die Menge der Lösungen der Aufgabe dieselbe Kardinalität wie die Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ .
31.10.2011, 00:04	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte an S als einelementige Menge gedacht und dann braucht man die leere Menge ja. Weiter hab ich mir auch dann keine Gedanken mehr gemacht. Aber deine Lösung finde ich (wenn man das mal bemerken darf) sehr schön

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