Geometrische Bedeutung einer Koordinatentransformation

30.10.2011, 21:21	Foena	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Bedeutung einer Koordinatentransformation Guten Abend! Stehe wieder mal auf der Leitung und würde eure Hilfe benötigen: Und zwar lautet die Fragestellung wie folgt: Welche geometrische Bedeutung hat eine Koordinatentransformation x = A * y mit $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} \frac{-(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \\ \frac{(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hinweis: Man ermittle zunächst die Bilder der kanonischen Basisvektoren und dan das Bild eines beliebigen Vektors! So - Mein Lösungsansatz: Wenn ich die Matrix A mit den kanonischen Basisvektoren $\begin{eqnarray} x =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multipliziere erhalte ich die transformierten Koordinaten $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} \frac{-(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \\ \frac{(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wenn ich diese neuen Koordinaten geometrisch betrachte stelle ich fest, dass es sich um eine Drehmatrix handelt! Den Winkel habe ich mit 135° im mathematisch positiven Sinn ermittelt! Danach die Transformation mit einem beliebigem Vektor (zur Kontrolle) $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durchgeführt! Ergebniss: $\begin{eqnarray} y = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} & -3\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2} & -3\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich wiederum diesen transformierten Vektor geometrisch betrachte, bewirkte die Transformationsmatrix plötzlich eine Drehung um 236,31 °, im mathematisch positivem Sinn! Übersehe ich etwas, habe ich mich verrechnet, oder bewirkt die Matrix abhängig von den zu transformierenden Vektoren jeweils einen anderen Drehwinkel?? Bitte um Hilfe - Besten Dank! Lg

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